Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 196 стр.

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ПсковГУ | Псков

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196
Ãëàâà âîñüìàÿ
()
r
rrrmL
µ
+ϕθ+θ+=
222222
cos
2
1
&
&
&
. (8.3.42)
Ñ ïîìîùüþ ðåøåíèÿ çàäà÷è ¹26 ï.3, è ôîðìóë (5.4.24) - (5.4.27)
ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà
r
p
r
p
r
p
m
H
r
µ
−
θ
++=
ϕθ
2
22
2
2
2
cos
11
2
1
. (8.3.43)
Ïîëàãàÿ rq =
1
, θ=
2
q , ϕ=
3
q ,
1=m
(êàê è â ïðåäûäóùèõ çà-
äà÷àõ), íàéä¸ì ïîëíûé èíòåãðàë K ïóò¸ì íåïîñðåäñòâåííîãî ðåøåíèÿ
ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ
1
2
22
2
2
2
cos
11
2
1
α=
µ
−
ϕ∂
∂
θ
+
θ∂
∂
+
∂
∂
r
K
r
K
rr
K
. (8.3.44)
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåì èñêàòü â âèäå
Θ++ϕα= RK
3
, (8.3.45)
ãäå
()
rRR
=
,
()
θΘ=Θ
. (8.3.46)
Ïîäñòàâëÿÿ (8.3.45) â (8.3.44) è ãðóïïèðóÿ ÷ëåíû, çàâèñÿùèå îò
r
è îò
θ
, çàïèøåì (8.3.44) â âèäå
0
cos
2
2
2
2
3
2
1
22
=
θ
α
+Θ
′
+
α−
µ
−
′
r
Rr . (8.3.47)
Ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (8.3.47) ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ñóììó äâóõ
ôóíêöèé çàâèñÿùèõ îò r è îò
θ
ñîîòâåòñòâåííî è, ñëåäîâàòåëüíî, êàæ-
äàÿ èç íèõ äîëæíà áûòü ïîñòîÿííîé, ïðè÷¸ì ôóíêöèÿ çàâèñÿùàÿ îò
θ
ïîëîæèòåëüíà. Ñ ó÷¸òîì âûøåñêàçàííîãî, ìîæåì íàïèñàòü
2
2
2
2
3
2
cos
α=
θ
α
+Θ
′
, (8.3.48)
à
196                                                          Ãëàâà    âîñüìàÿ

      L=
           1
           2
                (                          )     µ
             m r& 2 + r 2 θ& 2 + r 2 cos2 θϕ& 2 + .
                                                 r
                                                                       (8.3.42)

     Ñ ïîìîùüþ ðåøåíèÿ çàäà÷è ¹26 ï.3, è ôîðìóë (5.4.24) - (5.4.27)
ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà

            1  2 1 2         1        µ
      H=       pr + 2 pθ + 2     pϕ2  − .                            (8.3.43)
           2m      r      r cos θ  r
                                2


      Ïîëàãàÿ   q1 = r , q2 = θ , q3 = ϕ , m = 1 (êàê è â ïðåäûäóùèõ çà-
äà÷àõ), íàéä¸ì ïîëíûé èíòåãðàë K ïóò¸ì íåïîñðåäñòâåííîãî ðåøåíèÿ
ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ

      1  ∂K                                            µ
                                                      2
                   1  ∂K           ∂K 
                    2           2
                                1
              + 2      + 2                           − = α1 . (8.3.44)
      2  ∂r  r  ∂θ  r cos θ  ∂ϕ 
                                  2
                                                            r
      Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåì èñêàòü â âèäå
      K = α 3ϕ + R + Θ ,                                               (8.3.45)
ãäå
      R = R (r ) , Θ = Θ (θ ) .                                        (8.3.46)
      Ïîäñòàâëÿÿ (8.3.45) â (8.3.44) è ãðóïïèðóÿ ÷ëåíû, çàâèñÿùèå îò          r
è îò θ , çàïèøåì (8.3.44) â âèäå

                  2µ                   α32 
      r 2  R ′2 −    − 2α1  +  Θ′2 +         =0.                  (8.3.47)
                   r                  cos2 θ 
      Ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (8.3.47) ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ñóììó äâóõ
ôóíêöèé çàâèñÿùèõ îò r è îò θ ñîîòâåòñòâåííî è, ñëåäîâàòåëüíî, êàæ-
äàÿ èç íèõ äîëæíà áûòü ïîñòîÿííîé, ïðè÷¸ì ôóíêöèÿ çàâèñÿùàÿ îò θ
ïîëîæèòåëüíà. Ñ ó÷¸òîì âûøåñêàçàííîãî, ìîæåì íàïèñàòü

               α32
      Θ′2 +         = α22 ,                                            (8.3.48)
              cos θ
                 2

à

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