Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

20
Ãëàâà ïåðâàÿ
ìàòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, è îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå ñèñòåìû ìàòå-
ðèàëüíûõ òî÷åê.
Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû áóäåò ðàâíî
kns −= 3 . (1.3.7)
§1.4. Âèðòóàëüíûå ñêîðîñòè, âèðòóàëüíûå
ïåðåìåùåíèÿ
Âèðòóàëüíûå ñêîðîñòè è âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îä-
íèìè èç âàæíåéøèõ ïîíÿòèé ìåõàíèêè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó íàëîæåíà ñâÿçü âèäà
()
0,,,
=
tzyxf . (1.4.1)
Çàêîí äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, îáóñëîâëåííûé äåéñòâóþ-
ùèìè íà òî÷êó ñèëàìè, áóäåò
()
txx
=
,
()
tyy
=
,
()
tzz
=
. (1.4.2)
Ïîäñòàâèâ (1.4.2) â óðàâíåíèå ñâÿçè (1.4.1), ïîëó÷èì
() () ()
[]
0,,,
≡
ttztytxf . (1.4.3)
Äèôôåðåíöèðóÿ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ïî âðåìåíè t , ïîëó÷èì
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
t
f
z
z
f
y
y
f
x
x
f
&
&&
. (1.4.4)
Ïóñòü â ìîìåíò âðåìåíè
0
tt = ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà èìååò êîîðäè-
íàòû
000
,,
zyx .
Äëÿ ýòîãî ìîìåíòà âðåìåíè (1.4.4) ïðèìåò âèä
0
00
0
0
=
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
t
f
z
z
f
y
y
f
x
x
f
&
&&
. (1.4.5)
Çäåñü èíäåêñ 0 îçíà÷àåò, ÷òî âñå ÷åòûðå ïðîèçâîäíûå âû÷èñëåíû
äëÿ çíà÷åíèé
000
,,
zyx è
0
t . Ïðîèçâîäíûå zyx
&
&&
,, â (1.4.5) òàêæå ñîîò-
âåòñòâóþò ìîìåíòó âðåìåíè
0
tt = . Óðàâíåíèå (1.4.5) åñòü óñëîâèå, êî-
20                                                                    Ãëàâà ïåðâàÿ
ìàòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, è îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå ñèñòåìû ìàòå-
ðèàëüíûõ òî÷åê.
     Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû áóäåò ðàâíî
       s = 3n − k .                                                          (1.3.7)

       §1.4. Âèðòóàëüíûå ñêîðîñòè, âèðòóàëüíûå
             ïåðåìåùåíèÿ

    Âèðòóàëüíûå ñêîðîñòè è âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îä-
íèìè èç âàæíåéøèõ ïîíÿòèé ìåõàíèêè.

       Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó íàëîæåíà ñâÿçü âèäà
       f (x, y, z, t ) = 0 .                           (1.4.1)
    Çàêîí äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, îáóñëîâëåííûé äåéñòâóþ-
ùèìè íà òî÷êó ñèëàìè, áóäåò
       x = x(t ) , y = y(t ) , z = z(t ) .                                   (1.4.2)
       Ïîäñòàâèâ (1.4.2) â óðàâíåíèå ñâÿçè (1.4.1), ïîëó÷èì
       f [x(t ), y(t ), z(t ), t] ≡ 0 .                                      (1.4.3)
       Äèôôåðåíöèðóÿ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ïî âðåìåíè t , ïîëó÷èì
       ∂f      ∂f      ∂f      ∂f
          x& +    y& +    z& +    = 0.                                       (1.4.4)
       ∂x      ∂y      ∂z      ∂t
       Ïóñòü â ìîìåíò âðåìåíè              t = t0 ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà èìååò êîîðäè-
íàòû   x0 , y0 , z0 .
       Äëÿ ýòîãî ìîìåíòà âðåìåíè (1.4.4) ïðèìåò âèä

        ∂f  &  ∂f  &  ∂f  &  ∂f 
         ⋅ x +   ⋅ y +   ⋅ z +   = 0 .                             (1.4.5)
        ∂x  0    ∂y  0    ∂z  0   ∂t  0
       Çäåñü èíäåêñ 0 îçíà÷àåò, ÷òî âñå ÷åòûðå ïðîèçâîäíûå âû÷èñëåíû
äëÿ çíà÷åíèé       x0 , y0 , z0 è t0 . Ïðîèçâîäíûå x& , y& , z& â (1.4.5) òàêæå ñîîò-
âåòñòâóþò ìîìåíòó âðåìåíè                 t = t0 . Óðàâíåíèå (1.4.5) åñòü óñëîâèå, êî-

Страницы