Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 217 стр.

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ПсковГУ | Псков

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217
Çàäà÷à äâóõ òåë
()
r
r
r
mmk
r
r
&&
r
2
0
2
+
−=
, (10.1.7)
îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ äâóõ òåë.
3. Äâèæåíèå îòíîñèòåëüíî îáùåãî öåíòðà èíåðöèè
Ñ
.
Ïóñòü
Ñ
ïîëîæåíèå öåíòðà èíåðöèè òåë
S
è M îòíîñèòåëüíî
O
îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì
σ
r
, òàêèì, ÷òî
()
ρ+ρ=σ+
rr
r
mmmm
000
. (10.1.8)
Åñëè
0
s
r
è
s
r
(ñì. ðèñ. 23) îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå òåë
S
è M îòíî-
ñèòåëüíî öåíòðà èíåðöèè
Ñ
, òî
00
s
rr
r
+σ=ρ ; s
rr
r
+σ=ρ ,
0
ssr
rrr
−= . (10.1.9)
Ïîäñòàâëÿÿ ïåðâûå äâà ðàâåíñòâà èç (10.1.9) â (10.1.8), ïîëó÷èì
0
00
=+ smsm
rr
. (10.1.10)
Ïîäñòàâëÿÿ â ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíî
0
srs
rrr
+= è
rss
rrr
−=
0
, ïîëó÷èì
()
rmsmm
rr
−=+
00
;
()
rmsmm
rr
00
=+
. (10.1.11)
Òåïåðü ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî îðáèòû, îïèñûâàåìûå òåëàìè
S
è M âîêðóã èõ îáùåãî öåíòðà èíåðöèè
Ñ
, ïîäîáíû ìåæäó ñîáîé è
ïîäîáíû îðáèòå, îïèñûâàåìîé îäíèì òåëîì âîêðóã äðóãîãî.
Âûðàçèì èç (10.1.11) r
r
ïîñëåäîâàòåëüíî ÷åðåç
0
s
r
è
s
r
:
()
0
0
s
m
mm
r
rr
+
−=
;
()
s
m
mm
r
rr
0
0
+
=
è ïîäñòàâèì èõ çíà÷åíèÿ â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåë îòíîñèòåëüíî öåíò-
ðà èíåðöèè (10.1.7) , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ
()
3
0
0
2
0
32
0
s
s
mm
mk
s
r
&&
r
+
−=
;
()
3
2
0
3
0
2
s
s
mm
mk
s
r
&&
r
+
−=
, (10.1.12)
Çàäà÷à äâóõ òåë                                                               217
                          r
     &rr& = − k (m0 + m ) r ,
               2
                                                                  (10.1.7)
                  r2      r
îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ äâóõ òåë.

     3. Äâèæåíèå îòíîñèòåëüíî îáùåãî öåíòðà èíåðöèè Ñ .
     Ïóñòü Ñ ïîëîæåíèå öåíòðà èíåðöèè òåë S è      M îòíîñèòåëüíî
                           r
O îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì σ , òàêèì, ÷òî
    (m0 + m )σr = m0ρr 0 + mρr .                      (10.1.8)
         r r
    Åñëè s0 è s (ñì. ðèñ. 23) îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå òåë S è M îòíî-

ñèòåëüíî öåíòðà èíåðöèè Ñ , òî
     r     r r r r r r r r
     ρ 0 = σ + s0 ; ρ = σ + s , r = s − s0 .                      (10.1.9)
     Ïîäñòàâëÿÿ ïåðâûå äâà ðàâåíñòâà èç (10.1.9) â (10.1.8), ïîëó÷èì
        r     r
     m0 s0 + ms = 0 .                                             (10.1.10)
                                                                    r r r
     Ïîäñòàâëÿÿ â ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíî               s = r + s0 è
r r r
s0 = s − r , ïîëó÷èì
     (m0 + m )sr0 = −mrr ;          (m0 + m )sr = m0 rr .         (10.1.11)
     Òåïåðü ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî îðáèòû, îïèñûâàåìûå òåëàìè
S è M âîêðóã èõ îáùåãî öåíòðà èíåðöèè Ñ , ïîäîáíû ìåæäó ñîáîé è
ïîäîáíû îðáèòå, îïèñûâàåìîé îäíèì òåëîì âîêðóã äðóãîãî.
                                r                       r r
     Âûðàçèì èç (10.1.11)       r ïîñëåäîâàòåëüíî ÷åðåç s0 è s :
     r   (m + m ) sr ; rr = (m0 + m ) sr
     r =− 0         0
            m                 m0
è ïîäñòàâèì èõ çíà÷åíèÿ â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåë îòíîñèòåëüíî öåíò-
ðà èíåðöèè (10.1.7) , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ
                           r                              r
     &sr& = −     k 2m 3 s0
                               ;    &sr& = −     k 2 m03 s
                                                              ,   (10.1.12)
         0
                (m0 + m )2 s03                 (m0 + m )2 s 3

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