Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 219 стр.

Çàäà÷à äâóõ òåë                                                  219


            ∂  χ2  
     x&& =       ,
           ∂x  r  
            ∂  χ 2  
      &y& =   ,                                  (10.2.2)
           ∂y  r  
           ∂  χ2  
     &z& =   , 
           ∂z  r  

ïðåäñòàâëÿþùåé äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè åäèíè÷íîé ìàññû ïîä
äåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû, èìåþùåé ñèëîâóþ ôóíêöèþ, è ìû ìîæåì
ïîëó÷èòü ÷åòûðå ïåðâûõ èíòåãðàëà ýòèõ óðàâíåíèé (òðè èíòåãðàëà ñî-
õðàíåíèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è èíòåãðàë ýíåðãèè).

      Èíòåãðàëû ïëîùàäåé (ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ)
                                                         r
     Óìíîæàÿ âåêòîðíî îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (10.1.13) íà   r , ïîëó÷èì
     r r              r r
     r × &r& = − χ 2 (r × r )⋅ r −3 = 0 èëè
     r r
     r × &r& = 0 .                                   (10.2.3)
     Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå óðàâíåíèå, ïðèä¸ì ê ðàâåíñòâó
     r r          r     r r         r
     r × r& = χ 2 c èëè r × V = χ 2 c ,               (10.2.4)
    r
ãäå c - ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ.
     Ðàâåíñòâî (10.2.4) âûðàæàåò ñîáîé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà êî-
ëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è çàïèñàííûé â ñêàëÿðíîé ôîðìå (ñì. §2.3) äà¸ò òðè
ïåðâûõ èíòåãðàëà ïëîùàäåé:

     yz& − zy& = χc x ,
                       
     zx& − xz& = χc y ,                              (10.2.5)
     xy& − yx& = χcz .
     Ïîñêîëüêó â ëåâîé ÷àñòè (10.2.4) ñòîèò óäâîåííàÿ ñåêòîðíàÿ ñêî-
ðîñòü äâèæóùåéñÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, èíòåãðàëû ïëîùàäåé âûðàæà-