Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

24
Ãëàâà ïåðâàÿ
() () ( ) ( ) ( )
kzzjyyixxrtrtr
r
rr
rrr
δδδδ
+++++=+=
′
.
Âåêòîð
kzjyixr
r
rr
r
δδδδ
++=
åñòü áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðèðàùåíèå
ðàäèóñ-âåêòîðà
()
tr
r
ïðè ìûñëåííîì ïåðåìåùåíèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè
èç ïîëîæåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî ðàäèóñ-âåêòîðîì
()
tr
r
, â ïîëîæåíèå, îï-
ðåäåëÿåìîå ðàäèóñ-âåêòîðîì
()
tr
′
r
.
Âåêòîð r
r
δ
íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ. Âåê-
òîð âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ åñòü áåñêîíå÷íî ìàëûé âåêòîð, êîòî-
ðûé ïîçâîëÿåò ìûñëåííî, íå íàðóøàÿ ñâÿçè, ïåðåâåñòè ìàòåðèàëüíóþ
òî÷êó èç îäíîãî å¸ ïîëîæåíèÿ â áåñêîíå÷íî áëèçêîå, îòíîñÿùååñÿ ê òîìó
æå ìîìåíòó âðåìåíè
0
t .
Âåêòîð r
r
δ
èíà÷å íàçûâàåòñÿ âàðèàöèåé âåêòîðà r
r
, à åãî ïðîåêöèè
x
δ
, y
δ
, z
δ
- âàðèàöèÿìè êîîðäèíàò. Ïðîåêöèè xx
δ
+
, yy
δ
+
, zz
δ
+
âåêòîðîâ
()
tr
′
r
äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ ñâÿçè (1.3.4)
()
0,,,
=
tzyxf , òî åñòü
()
0,,,
=+++
tzzyyxxf
δδδ
.
Ðàçëàãàÿ ýòî âûðàæåíèå â ðÿä ïî ñòåïåíÿì x
δ
, y
δ
, z
δ
, ó÷èòûâàÿ,
÷òî
()
0,,,
=
tzyxf , è ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè ìàëîñòè âûñøåãî ïîðÿäêà,
ïîëó÷èì óñëîâèå, íàêëàäûâàþùåå îãðàíè÷åíèå íà âàðèàöèè êîîðäèíàò:
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
z
f
y
y
f
x
x
f
δδδ
. (1.4.14)
Òàê êàê âðåìÿ â (1.4.14) ñ÷èòàåòñÿ ôèêñèðîâàííûì, âàðèàöèè x
δ
,
y
δ
, z
δ
íàçûâàþòñÿ èçîõðîííûìè.
Åñëè ñâÿçü, êîòîðîé ïîä÷èíåíî äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè,
ñòàöèîíàðíàÿ, òî ïðîåêöèè ( dzdydx ,, ) äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ
rd
r
óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
dz
z
f
dy
y
f
dx
x
f
, òî åñòü
24                                                               Ãëàâà ïåðâàÿ
     r         r         r            r            r             r
     r ′(t ) = r (t ) + δr = (x + δx )i + (y + δy ) j + (z + δz )k .
                  r       r     r       r
     Âåêòîð δr = δxi + δyj + δzk åñòü áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðèðàùåíèå
                     r
ðàäèóñ-âåêòîðà r (t ) ïðè ìûñëåííîì ïåðåìåùåíèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè
                                                        r
èç ïîëîæåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî ðàäèóñ-âåêòîðîì r (t ) , â ïîëîæåíèå, îï-
                                   r
ðåäåëÿåìîå ðàäèóñ-âåêòîðîì r ′(t ) .
                  r
     Âåêòîð δr íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ. Âåê-
òîð âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ åñòü áåñêîíå÷íî ìàëûé âåêòîð, êîòî-
ðûé ïîçâîëÿåò ìûñëåííî, íå íàðóøàÿ ñâÿçè, ïåðåâåñòè ìàòåðèàëüíóþ
òî÷êó èç îäíîãî å¸ ïîëîæåíèÿ â áåñêîíå÷íî áëèçêîå, îòíîñÿùååñÿ ê òîìó
æå ìîìåíòó âðåìåíè      t0 .
                r                                  r
     Âåêòîð δr èíà÷å íàçûâàåòñÿ âàðèàöèåé âåêòîðà  r , à åãî ïðîåêöèè
δx , δy , δz - âàðèàöèÿìè êîîðäèíàò. Ïðîåêöèè x + δx , y + δy , z + δz
            r
âåêòîðîâ r ′(t ) äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ ñâÿçè (1.3.4)

f (x, y, z, t ) = 0 , òî åñòü f (x + δx, y + δy, z + δz, t ) = 0 .
     Ðàçëàãàÿ ýòî âûðàæåíèå â ðÿä ïî ñòåïåíÿì δx ,           δy , δz , ó÷èòûâàÿ,
      (         )
÷òî f x, y, z, t = 0 , è ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè ìàëîñòè âûñøåãî ïîðÿäêà,
ïîëó÷èì óñëîâèå, íàêëàäûâàþùåå îãðàíè÷åíèå íà âàðèàöèè êîîðäèíàò:
     ∂f     ∂f   ∂f
        δx + δy + δz = 0 .                                             (1.4.14)
     ∂x     ∂y   ∂z
     Òàê êàê âðåìÿ â (1.4.14) ñ÷èòàåòñÿ ôèêñèðîâàííûì, âàðèàöèè δx ,
δy , δz íàçûâàþòñÿ èçîõðîííûìè.
     Åñëè ñâÿçü, êîòîðîé ïîä÷èíåíî äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè,
ñòàöèîíàðíàÿ, òî ïðîåêöèè ( dx, dy, dz ) äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ

 r                         ∂f      ∂f      ∂f
dr óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ    dx +    dy +    dz = 0 , òî åñòü
                           ∂x      ∂y      ∂z

Страницы