Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 241 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

241
Òåîðèÿ êîëåáàíèé
Ïóñòü îáùàÿ âåëè÷èíà îòíîøåíèé (11.3.2) åñòü
θ
, êîòîðóþ ìû
ïðèìåì â êà÷åñòâå åäèíñòâåííîé îáîáù¸ííîé (ëàãðàíæåâîé) êîîðäèíà-
òû íåñâîáîäíîé ñèñòåìû. Ó÷èòûâàÿ (11.3.2) ïåðåïèøåì (11.3.1) â âèäå:
()
()
θα++α+α=
θα++α+α=
.p...ppV
,...T
nn
n
2222
2
2
2
2
1
2
1
222
2
2
1
2
1
2
1
&
(11.3.3)
Ïåðèîä êîëåáàíèé íåñâîáîäíîé ñèñòåìû áóäåò ðàâåí
p
π2
, ãäå
22
2
2
1
222
2
2
2
2
1
2
1
2
n
nn
...
p...pp
p
α++α+α
α++α+α
= . (11.3.4)
Åñëè ïðàâóþ ÷àñòü (11.3.4) ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ
îò
n
,...,,
ααα
21
, òî íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ ïðèîáðåòàåò
ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå, åñëè âñå α, êðîìå îäíîé, ðàâíû íóëþ. Òàêèì
îáðàçîì, ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó ñîñòàâëÿþ-
ùóþ ñîäåðæàíèå ïðèíöèïà Ðåëåÿ:
Ïåðèîä êîëåáàíèé íåñâîáîäíîé ñèñòåìû, ðàññìàòðèâàåìûé êàê ôóí-
êöèÿ îò ñâÿçåé, èìååò ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå, åñëè èñõîäíàÿ ñèñòåìà âû-
íóæäåíà ñîâåðøàòü îäíî èç ñâîèõ ãëàâíûõ êîëåáàíèé.
Çàäà÷à ¹30.
Íåâåñîìàÿ ñòðóíà äëèíîé
a4
íàòÿíóòà ñèëîé F ìåäó äâóìÿ ôèê-
ñèðîâàííûìè òî÷êàìè. Íà ñòðóíå çàêðåïëåíû òî÷å÷íûå ìàññû m , m
3
4
,
m íà ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ äðóã îò äðóãà è îò êîíöîâ ñòðóíû (ðèñ. 25).
Ñèñòåìà ñîâåðøàåò ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ â ñâîåé ïëîñêîñòè. Íàéòè
äâèæåíèå ñèñòåìû.
Òåîðèÿ êîëåáàíèé                                                   241

     Ïóñòü îáùàÿ âåëè÷èíà îòíîøåíèé (11.3.2) åñòü θ , êîòîðóþ ìû
ïðèìåì â êà÷åñòâå åäèíñòâåííîé îáîáù¸ííîé (ëàãðàíæåâîé) êîîðäèíà-
òû íåñâîáîäíîé ñèñòåìû. Ó÷èòûâàÿ (11.3.2) ïåðåïèøåì (11.3.1) â âèäå:


     T=   (
        1 2
        2
           α1 + α 22 + ... + α 2n )θ& 2 ,
                                                
                                                
                                                              (11.3.3)
     V = (p1 α1 + p2 α 2 + ... + pn α n )θ .
        1 2 2         2 2                 2 2 2 

        2                                        

                                                            2π
     Ïåðèîä êîëåáàíèé íåñâîáîäíîé ñèñòåìû áóäåò ðàâåí          , ãäå
                                                             p

          α12 p12 + α22 p22 + ... + α 2n pn2
      p =
       2
                                             .                 (11.3.4)
               α12 + α 22 + ... + α 2n
     Åñëè ïðàâóþ ÷àñòü (11.3.4) ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ
îò α1 ,α 2 ,...,α n , òî íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ ïðèîáðåòàåò
ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå, åñëè âñå α , êðîìå îäíîé, ðàâíû íóëþ. Òàêèì
îáðàçîì, ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó ñîñòàâëÿþ-
ùóþ ñîäåðæàíèå ïðèíöèïà Ðåëåÿ:
     Ïåðèîä êîëåáàíèé íåñâîáîäíîé ñèñòåìû, ðàññìàòðèâàåìûé êàê ôóí-
êöèÿ îò ñâÿçåé, èìååò ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå, åñëè èñõîäíàÿ ñèñòåìà âû-
íóæäåíà ñîâåðøàòü îäíî èç ñâîèõ ãëàâíûõ êîëåáàíèé.



     Çàäà÷à ¹30.

     Íåâåñîìàÿ ñòðóíà äëèíîé 4a íàòÿíóòà ñèëîé       F ìåäó äâóìÿ ôèê-
                                                                   4
ñèðîâàííûìè òî÷êàìè. Íà ñòðóíå çàêðåïëåíû òî÷å÷íûå ìàññû      m,     m,
                                                                   3
m íà ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ äðóã îò äðóãà è îò êîíöîâ ñòðóíû (ðèñ. 25).
Ñèñòåìà ñîâåðøàåò ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ â ñâîåé ïëîñêîñòè. Íàéòè
äâèæåíèå ñèñòåìû.

Страницы