Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 260 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

260
Ãëàâà äâåíàäöàòàÿ
4. Òåîðåìà Áåðòðàíà
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê èç ñîñòîÿíèÿ ïî-
êîÿ ïðèâîäèòñÿ â äâèæåíèå íåêîòîðîé çàäàííîé ñèñòåìîé èìïóëüñîâ.
Ïîâòîðèì ìûñëåííî ýòîò ýêñïåðèìåíò ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ, íî ñ òîé
ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê òåïåðü ïîä÷èíèì äî-
ïîëíèòåëüíûì (êîíå÷íûì) ñâÿçÿì. Òåïåðü ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü
ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Ýíåðãèÿ
1
T ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê âî âòîðîì ñëó÷àå ìåíüøå
ýíåðãèè
T
ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â ïåðâîì ñëó÷àå íà âåëè÷èíó ýíåð-
ãèè ïîòåðÿííûõ ñêîðîñòåé (òî åñòü ñêîðîñòè
1
uu − ).
Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì (12.5.1)
()
∑∑
=−
PUUuum
0
, (12.5.1)
ó÷èòûâàÿ, ÷òî 0
0
=u , çàïèøåì äëÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ñëó÷àåâ
∑∑
=
PUmuU , (12.5.13)
∑∑
=
PUUmu
1
. (12.5.14)
Îáà óðàâíåíèÿ ñïðàâåäëèâû äëÿ
1
uU
r
r
= . Òîãäà ñ ó÷¸òîì ðàâåí-
ñòâà ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé (12.5.13) è (12.5.14), ïîëó÷èì
()
∑
=−
0
11
uumu . (12.5.15)
Ðàññóæäàÿ ïî àíàëîãèè ñ (12.5.6), çàïèøåì
0
11
≥=− RTT . (12.5.16)
5. Òåîðåìà Êåëüâèíà
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, íàõîäèâøàÿñÿ â
çàäàííîì ïîëîæåíèè â ïîêîå, ïðèâîäèòñÿ â äâèæåíèå óäàðíûìè èìïóëü-
ñàìè, ïðèëîæåííûìè â îïðåäåë¸ííûõ òî÷êàõ; ñêîðîñòè (íî íå èìïóëü-
ñû) â òî÷êàõ óäàðà áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûìè.
260                                              Ãëàâà       äâåíàäöàòàÿ
      4. Òåîðåìà Áåðòðàíà

     Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê èç ñîñòîÿíèÿ ïî-
êîÿ ïðèâîäèòñÿ â äâèæåíèå íåêîòîðîé çàäàííîé ñèñòåìîé èìïóëüñîâ.
Ïîâòîðèì ìûñëåííî ýòîò ýêñïåðèìåíò ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ, íî ñ òîé
ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê òåïåðü ïîä÷èíèì äî-
ïîëíèòåëüíûì (êîíå÷íûì) ñâÿçÿì. Òåïåðü ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü
ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
      Ýíåðãèÿ T1 ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê âî âòîðîì ñëó÷àå ìåíüøå
ýíåðãèè T ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â ïåðâîì ñëó÷àå íà âåëè÷èíó ýíåð-
ãèè ïîòåðÿííûõ ñêîðîñòåé (òî åñòü ñêîðîñòè       u − u1 ).
     Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì (12.5.1)

      ∑ m(u − u )U = ∑ PU ,
                 0                                           (12.5.1)

ó÷èòûâàÿ, ÷òî   u 0 = 0 , çàïèøåì äëÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ñëó÷àåâ

      ∑ muU = ∑ PU ,                                         (12.5.13)

      ∑ mu U = ∑ PU .
            1                                                (12.5.14)
                                        r    r
     Îáà óðàâíåíèÿ ñïðàâåäëèâû äëÿ U = u1 . Òîãäà ñ ó÷¸òîì ðàâåí-
ñòâà ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé (12.5.13) è (12.5.14), ïîëó÷èì

      ∑ mu (u − u ) = 0 .
            1        1                                       (12.5.15)
      Ðàññóæäàÿ ïî àíàëîãèè ñ (12.5.6), çàïèøåì
      T − T1 = R1 ≥ 0 .                                      (12.5.16)



      5. Òåîðåìà Êåëüâèíà

      Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, íàõîäèâøàÿñÿ â
çàäàííîì ïîëîæåíèè â ïîêîå, ïðèâîäèòñÿ â äâèæåíèå óäàðíûìè èìïóëü-
ñàìè, ïðèëîæåííûìè â îïðåäåë¸ííûõ òî÷êàõ; ñêîðîñòè (íî íå èìïóëü-
ñû) â òî÷êàõ óäàðà áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûìè.

Страницы