Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 261 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

261
Òåîðèÿ óäàðà
Òåîðåìà Êåëüâèíà. Ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ìåíüøå,
÷åì â ëþáîì äðóãîì äâèæåíèè, ïðè êîòîðîì óêàçàííûå òî÷êè èìåþò çà-
äàííûå ñêîðîñòè.
Çàïèøåì óðàâíåíèå (12.5.1) ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê ïîêîèëàñü:
∑∑
=
PUmuU . (12.5.1)
Ïóñòü
2
u
r
åñòü ëþáàÿ äðóãàÿ ñèñòåìà ñêîðîñòåé, ïðè êîòîðîé óêà-
çàííûå òî÷êè èìåþò çàäàííûå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè. Ïîëàãàÿ
2
uuU
−=
r
r
,
íàõîäèì
() ()
∑∑
−=−
22
uuPuumu . (12.5.17)
Ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ðàâíà íóëþ, òàê êàê P
r
îáðàùàåòñÿ
â íóëü âñþäó, ãäå ðàçíîñòü
()
2
uu
−
îòëè÷íà îò íóëÿ. Òîãäà
( )
∑
=−
0
2
uumu
(12.5.18)
è ìû ìîæåì íàïèñàòü, ÷òî
22
RTT =− . (12.5.19)
Òåîðåìà Êåëüâèíà óòâåðæäàåò, ÷òî ýíåðãèÿ ïîòåðÿííûõ ñêîðîñòåé
ïðè äåéñòâèòåëüíîì äâèæåíèè ìèíèìàëüíà.
6. Òåîðåìà Òåéëîðà
(î ñâÿçè ìåæäó òåîðåìàìè Áåðòðàíà è Êåëüâèíà)
Ïðîèçâåä¸ì ìûñëåííî òðè îïûòà, ïîëàãàÿ â êàæäîì èç íèõ, ÷òî â
íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàõîäèòñÿ â
ïîêîå â íåêîòîðîì çàäàííîì ïîëîæåíèè.
1.  íåêîòîðûõ òî÷êàõ ñèñòåìû ïðèêëàäûâàþòñÿ óäàðíûå èìïóëü-
ñû, ñîîáùàþùèå ñèñòåìå êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ
T
.
2. Ñèñòåìà ïîä÷èíåíà ñâÿçÿì è ïîäâåðãàåòñÿ äåéñòâèþ òåõ æå óäàð-
íûõ èìïóëüñîâ, ÷òî è îïûòå 1. Ïðèîáðåò¸ííàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
ñèñòåìû â ýòîì ñëó÷àå ïóñòü áóäåò ðàâíà
1
T . Ïî òåîðåìå Áåðòðàíà
Òåîðèÿ óäàðà                                                          261
      Òåîðåìà Êåëüâèíà. Ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ìåíüøå,
÷åì â ëþáîì äðóãîì äâèæåíèè, ïðè êîòîðîì óêàçàííûå òî÷êè èìåþò çà-
äàííûå ñêîðîñòè.

     Çàïèøåì óðàâíåíèå (12.5.1) ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê ïîêîèëàñü:

     ∑ muU = ∑ PU .                                       (12.5.1)
           r
     Ïóñòü u 2 åñòü ëþáàÿ äðóãàÿ ñèñòåìà ñêîðîñòåé, ïðè êîòîðîé óêà-
                                                          r r
çàííûå òî÷êè èìåþò çàäàííûå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè. Ïîëàãàÿ U = u − u 2 ,
íàõîäèì

     ∑ mu(u − u ) = ∑ P(u − u ).
                 2                 2                      (12.5.17)
                                                          r
     Ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ðàâíà íóëþ, òàê êàê     P îáðàùàåòñÿ
â íóëü âñþäó, ãäå ðàçíîñòü   (u − u 2 ) îòëè÷íà îò íóëÿ. Òîãäà
     ∑ mu(u − u ) = 0
                 2                                        (12.5.18)
è ìû ìîæåì íàïèñàòü, ÷òî
     T2 − T = R2 .                                   (12.5.19)
     Òåîðåìà Êåëüâèíà óòâåðæäàåò, ÷òî ýíåðãèÿ ïîòåðÿííûõ ñêîðîñòåé
ïðè äåéñòâèòåëüíîì äâèæåíèè ìèíèìàëüíà.

      6. Òåîðåìà Òåéëîðà
         (î ñâÿçè ìåæäó òåîðåìàìè Áåðòðàíà è Êåëüâèíà)

     Ïðîèçâåä¸ì ìûñëåííî òðè îïûòà, ïîëàãàÿ â êàæäîì èç íèõ, ÷òî â
íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàõîäèòñÿ â
ïîêîå â íåêîòîðîì çàäàííîì ïîëîæåíèè.
     1.  íåêîòîðûõ òî÷êàõ ñèñòåìû ïðèêëàäûâàþòñÿ óäàðíûå èìïóëü-
ñû, ñîîáùàþùèå ñèñòåìå êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ T .
      2. Ñèñòåìà ïîä÷èíåíà ñâÿçÿì è ïîäâåðãàåòñÿ äåéñòâèþ òåõ æå óäàð-
íûõ èìïóëüñîâ, ÷òî è îïûòå 1. Ïðèîáðåò¸ííàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
ñèñòåìû â ýòîì ñëó÷àå ïóñòü áóäåò ðàâíà       T1 . Ïî òåîðåìå Áåðòðàíà

Страницы