Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 267 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

267
Ïðèëîæåíèÿ
Ïðèëîæåíèå I
1. Èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü
Åñëè íåêîòîðîå âûðàæåíèå
QdyPdx
+ (Ï1.1)
åñòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìîæíî ïîäîáðàòü òà-
êóþ ôóíêöèþ
()
yxu,, ÷òî
QdyPdxdy
y
u
dx
x
u
du +=
∂
∂
+
∂
∂
= . (Ï1.2)
Íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî ñàìîå îáùåå ðåøåíèå (Ï1.2) åñòü
()()
Cyxuyxu
+=
,,
1
. (Ï1.3)
 ñàìîì äåëå
QdyPdxdu
+= , QdyPdxdu +=
1
,
îòêóäà
()
0
1
=−
uud
èëè
Cuu =−
1
.
Íî åñëè äèôôåðåíöèàë íåêîòîðîé ôóíêöèè ðàâåí òîæäåñòâåííî
íóëþ, òî ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè ïî âñåì íåçàâèñèìûì ïå-
ðåìåííûì ðàâíà íóëþ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñàìà ôóíêöèÿ åñòü âåëè÷èíà
ïîñòîÿííàÿ, òî åñòü Cuu =−
1
.
Îáðàòíî, ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ
1
u , ÷òî
QdyPdxdu +=
1
. (Ï1.4)
Ïîêàæåì, ÷òî ñ íåîáõîäèìîñòüþ äîëæíî áûòü
                                                                 267



             Ïðèëîæåíèÿ
      Ïðèëîæåíèå I

      1. Èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü

      Åñëè íåêîòîðîå âûðàæåíèå
      Pdx + Qdy                                           (Ï1.1)
åñòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìîæíî ïîäîáðàòü òà-
êóþ ôóíêöèþ     u (x, y ), ÷òî
             ∂u      ∂u
      du =      dx +    dy = Pdx + Qdy .                      (Ï1.2)
             ∂x      ∂y
      Íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî ñàìîå îáùåå ðåøåíèå (Ï1.2) åñòü
      u1 (x, y ) = u(x, y ) + C .                             (Ï1.3)
      Â ñàìîì äåëå
      du = Pdx + Qdy , du1 = Pdx + Qdy ,
îòêóäà
      d (u1 − u ) = 0
èëè
      u1 − u = C .
     Íî åñëè äèôôåðåíöèàë íåêîòîðîé ôóíêöèè ðàâåí òîæäåñòâåííî
íóëþ, òî ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè ïî âñåì íåçàâèñèìûì ïå-
ðåìåííûì ðàâíà íóëþ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñàìà ôóíêöèÿ åñòü âåëè÷èíà
ïîñòîÿííàÿ, òî åñòü     u1 − u = C .
      Îáðàòíî, ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ   u1 , ÷òî
      du1 = Pdx + Qdy .                                       (Ï1.4)
      Ïîêàæåì, ÷òî ñ íåîáõîäèìîñòüþ äîëæíî áûòü

Страницы