Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 269 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

269
Âñÿêàÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ
λ
íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóþùèì ìíîæèòå-
ëåì. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèÿ
λ
áûëà èíòåãðèðóþùèì ìíîæèòåëåì,
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà
() ()
0
=
∂
λ∂
−
∂
λ∂
x
Q
y
P
. (Ï1.11)
Âûðàæåíèå
0=
∂
∂
−
∂
∂
λ+
∂
λ∂
−
∂
λ∂
x
Q
y
P
x
Q
y
P (Ï1.12)
ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíî êàê óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ èíòåãðèðóþ-
ùåãî ìíîæèòåëÿ
λ
.
Ìîæíî îïðåäåëèòü èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü è èç äðóãèõ ñîîá-
ðàæåíèé. Ïóñòü QdyPdx + íå åñòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë. Äèôôåðåí-
öèàëüíîå óðàâíåíèå
0=+ QdyPdx (Ï1.13)
âñåãäà èìååò, â ñèëó òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, îáùèé èíòåãðàë, êîòîðûé
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
()
0,
=
yxF . (Ï1.14)
Ôóíêöèÿ
()
yxF, äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíèþ
0=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
x
y
y
F
x
F
, (Ï1.15)
ãäå
x
y
∂
∂
, â ñèëó (Ï1.13), ìîæíî çàìåíèòü íà
−
Q
P
, òî åñòü äîëæíî èìåòü
ìåñòî òîæäåñòâî
Q
y
F
P
x
F
∂
∂
=
∂
∂
. (Ï1.16)
                                                                      269

       Âñÿêàÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ λ íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóþùèì ìíîæèòå-
ëåì. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèÿ λ áûëà èíòåãðèðóþùèì ìíîæèòåëåì,
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà
       ∂ (λP ) ∂ (λQ )
              −        = 0.                                       (Ï1.11)
         ∂y       ∂x
       Âûðàæåíèå

           ∂λ    ∂λ       ∂P ∂Q 
       P      −Q    + λ    −    = 0                           (Ï1.12)
           ∂y    ∂x       ∂y ∂x 
ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíî êàê óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ èíòåãðèðóþ-
ùåãî ìíîæèòåëÿ λ .
     Ìîæíî îïðåäåëèòü èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü è èç äðóãèõ ñîîá-
ðàæåíèé. Ïóñòü Pdx + Qdy íå åñòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë. Äèôôåðåí-
öèàëüíîå óðàâíåíèå
        Pdx + Qdy = 0                                       (Ï1.13)
âñåãäà èìååò, â ñèëó òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, îáùèé èíòåãðàë, êîòîðûé
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
       F (x, y ) = 0 .                                            (Ï1.14)

       Ôóíêöèÿ    F (x, y ) äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíèþ
       ∂F ∂F ∂y
         +      = 0,                                              (Ï1.15)
       ∂x ∂y ∂x

      ∂y                                       P
ãäå      , â ñèëó (Ï1.13), ìîæíî çàìåíèòü íà  −  , òî åñòü äîëæíî èìåòü
      ∂x                                       Q
ìåñòî òîæäåñòâî

        ∂F ∂F
        ∂x = ∂y .                                                 (Ï1.16)
         P   Q

Страницы