Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 268 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

268
Ïðèëîæåíèÿ
0≡
∂
∂
−
∂
∂
y
P
x
Q
. (Ï1.5)
Ñîîòíîøåíèå (1.4) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå
dy
y
u
dx
x
u
QdyPdx
∂
∂
+
∂
∂
=+
11
(Ï1.6)
è òàê êàê âåëè÷èíû
dx
è dy , êàê äèôôåðåíöèàëû íåçàâèñèìûõ ïåðå-
ìåííûõ, ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíû, òî ýòî ðàâåíñòâî ìîæåò èìåòü ìåñòî
òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî ðàâíû êîýôôèöèåíòû ïðè
dx
è dy â îáåèõ
÷àñòÿõ ðàâåíñòâà (Ï1.6), òî åñòü
x
u
P
∂
∂
=
1
,
y
u
Q
∂
∂
=
1
,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
y
Q
xy
u
yx
u
y
P
∂
∂
=
∂∂
∂
≡
∂∂
∂
=
∂
∂
1
2
1
2
. (Ï1.7)
Èòàê, åñëè íåêîòîðîå âûðàæåíèå QdyPdx + åñòü ïîëíûé äèôôå-
ðåíöèàë ôóíêöèè
()
yxu,
1
, òî
x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
è
()( )
∫
++=
CQdyPdxyxu ,
1
. (Ï1.8)
Åñëè âûðàæåíèå QdyPdx + íå åñòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë, òî
0≠
∂
∂
−
∂
∂
x
Q
y
P
. (Ï1.9)
Ïîêàæåì, ÷òî âñåãäà ìîæíî íàéòè òàêóþ ôóíêöèþ
λ
, ïðè óìíî-
æåíèè íà êîòîðóþ âûðàæåíèå QdyPdx + îáðàùàåòñÿ â ïîëíûé äèô-
ôåðåíöèàë è åãî ìîæíî áóäåò ïðîèíòåãðèðîâàòü.
()
duQdyPdx
=+λ
. (Ï1.10)
268                                                      Ïðèëîæåíèÿ

      ∂Q ∂P
        −   ≡ 0.                                              (Ï1.5)
      ∂x ∂y
      Ñîîòíîøåíèå (1.4) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå
                      ∂u1     ∂u
      Pdx + Qdy =         dx + 1 dy                           (Ï1.6)
                      ∂x      ∂y
è òàê êàê âåëè÷èíû dx è dy , êàê äèôôåðåíöèàëû íåçàâèñèìûõ ïåðå-
ìåííûõ, ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíû, òî ýòî ðàâåíñòâî ìîæåò èìåòü ìåñòî
òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî ðàâíû êîýôôèöèåíòû ïðè dx è        dy â îáåèõ
÷àñòÿõ ðàâåíñòâà (Ï1.6), òî åñòü
            ∂ u1      ∂u1
      P =        , Q=     ,
            ∂x        ∂y
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

      ∂P ∂ 2 u1 ∂ 2 u1 ∂Q
        =      ≡      =   .                                   (Ï1.7)
      ∂y ∂x∂y ∂y∂x ∂y
      Èòàê, åñëè íåêîòîðîå âûðàæåíèå      Pdx + Qdy åñòü ïîëíûé äèôôå-
                                     ∂P ∂Q
ðåíöèàë ôóíêöèè    u1 (x, y ) , òî     =   è
                                     ∂y ∂x

      u1 (x, y ) = ∫ (Pdx + Qdy ) + C .                       (Ï1.8)

      Åñëè âûðàæåíèå    Pdx + Qdy íå åñòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë, òî
      ∂P ∂Q
        −   ≠ 0.                                              (Ï1.9)
      ∂y ∂x
      Ïîêàæåì, ÷òî âñåãäà ìîæíî íàéòè òàêóþ ôóíêöèþ λ , ïðè óìíî-
æåíèè íà êîòîðóþ âûðàæåíèå Pdx + Qdy îáðàùàåòñÿ â ïîëíûé äèô-
ôåðåíöèàë è åãî ìîæíî áóäåò ïðîèíòåãðèðîâàòü.
      λ (Pdx + Qdy ) = du .                                   (Ï1.10)

Страницы