Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 270 стр.

270                                                        Ïðèëîæåíèÿ

     Îáîçíà÷àÿ ÷åðåç λ îáùóþ âåëè÷èíó ýòèõ äâóõ ðàâíûõ îòíîøå-
íèé, ìû èìååì
      ∂F            ∂F
         = λP ,        = λQ ,                                    (Ï1.17)
      ∂x            ∂y
      òî åñòü λ åñòü èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü ëþáîãî âûðàæåíèÿ
Pdx + Qdy .

      2. Óðàâíåíèÿ Ïôàôôà

      Óðàâíåíèÿìè Ïôàôôà íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ òèïà
      δQ = Xdx + Ydy + Zdz + ⋅ ⋅ ⋅ ,                          (Ï1.18)
ãäå âåëè÷èíû, x, y, z ,... , ñëóæàò àðãóìåíòàìè, à âåëè÷èíû X , Y , Z ,...
ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ýòèõ àðãóìåíòîâ. Åñëè óðàâíåíèå (Ï1.18) èìååò
«èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü» (òî åñòü èìååòñÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ, ïîñëå
óìíîæåíèÿ íà êîòîðóþ ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ îáðàùàåòñÿ â âûðàæå-
íèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà), òî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ ãîëîíîìíûì. Ïî
òåîðåìå Êîøè âñÿêîå óðàâíåíèå òèïà óðàâíåíèÿ Ïôàôôà (Ï1.18) ñ äâó-
ìÿ àðãóìåíòàìè ãîëîíîìíî. Ïî òîé æå òåîðåìå îíî èìååò áåñ÷èñëåííîå
ìíîæåñòâî èíòåãðèðóþùèõ ìíîæèòåëåé, èáî åñëè èçâåñòåí îäèí èíòåã-
ðèðóþùèé ìíîæèòåëü, òî åãî ïðîèçâåäåíèå íà ëþáóþ ôóíêöèþ îò âå-
ëè÷èíû, ñòîÿùåé ïîä çíàêîì ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà, òàêæå ÿâëÿåòñÿ
èíòåãðèðóþùèì ìíîæèòåëåì.
     Äëÿ óðàâíåíèé Ïôàôôà ñ òðåìÿ è áîëåå àðãóìåíòàìè äåëî îáñòîèò
ñëîæíåå. Äàëåêî íå âñÿêîå óðàâíåíèå Ïôàôôà ñ òðåìÿ è áîëåå àðãóìåí-
òàìè èìååò èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü. ×òîáû óðàâíåíèå èìåëî èíòåã-
ðèðóþùèé ìíîæèòåëü, ìåæäó ôóíêöèÿìè X ,Y , Z ,... äîëæíû èìåòüñÿ
íåêîòîðûå ñîîòíîøåíèÿ, à èìåííî: ïðè ñóùåñòâîâàíèè èíòåãðèðóþùå-
ãî ìíîæèòåëÿ µ äîëæíû áûòü óäîâëåòâîðåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:

      ∂µX ∂µY ∂µZ ∂µX
          =    ,    =    , è òàê äàëåå.                          (Ï1.19)
       ∂y   ∂x   ∂z   ∂z
     Ýòó ñîâîêóïíîñòü ñîîòíîøåíèé íåðåäêî íàçûâàþò ïðàâèëîì ïðè-
ðàâíèâàíèÿ íàêðåñò âçÿòûõ ïðîèçâîäíûõ.