Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 272 стр.

272                                                                          Ïðèëîæåíèÿ

      = mt m −1 ⋅ f (x0 , y 0 , z 0 ).
      Ïîëàãàÿ t = 1 , ïîëó÷èì
       f x′(tx0 , ty0 , tz0 )x0 + f y′ (tx0 , ty 0 , tz0 )y 0 + f z′(tx0 , ty0 , tz0 )z 0 =
      = m ⋅ f (x0 , y 0 , z 0 ) .
      Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîé òî÷êè          (x, y, z ) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
∂f (x, y , z )    ∂f (x, y , z )    ∂f (x, y , z )
               x+                y+                z = m ⋅ f (x, y , z ), (Ï2.3)
      ∂x                  ∂y                    ∂z
ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé òåîðåìó Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ.


       Ïðèëîæåíèå III
       Âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå

       1. Óñëîâèå ñòàöèîíàðíîñòè èíòåãðàëüíîãî ôóíêöèîíàëà

      Ðàññìîòðèì èíòåãðàëüíûé ôóíêöèîíàë âèäà
            t1
               dx 
      S = ∫ f  x, , t  ,                                                            (Ï3.1)
          t0   dt 
ãäå f - çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, à îòíîñèòåëüíî x èçâåñòíî, ÷òî ýòî íåêîòî-
ðàÿ ôóíêöèÿ îò t , îäíàêî íå èçâåñòíî, êàêàÿ èìåííî.
      Çàäà÷à âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè, êàêîé
ôóíêöèåé îò t äîëæíî áûòü x , ÷òîáû íà ýòîé ôóíêöèè ôóíêöèîíàë S
ïðèíèìàë ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå ïðè ìàëûõ èçìåíåíèÿõ x .
     Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà çàäà÷ó îá îïðåäåëåíèè êðàò÷àé-
øåãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè. Çäåñü ôóíêöèîíàëîì áóäåò äëèíà
ïëîñêîé êðèâîé, ñîåäèíÿþùåé äâå òî÷êè                  (x0 , y0 ) è (x1 , y1 ) . Åñëè óðàâ-
íåíèå êðèâîé çàäàíî â âèäå y             = y (x ) , òî ôóíêöèîíàë äëèíû äóãè ìî-
æåò áûòü íàéäåí ïî ôîðìóëå