Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 273 стр.

                                                                            273

            x1

       s=   ∫    1 + ( y ′(x )) .
                               2
                                                                       (Ï3.2)
            x0


       Êîíöû êðèâîé îïðåäåëÿþòñÿ çàäàííûìè òî÷êàìè              y 0 = y 0 (x0 ) è
y1 = y1 (x1 ) . Íåòðóäíî ïðåäñòàâèòü, ÷òî äëèíà äóãè êðèâîé s áóäåò
ìèíèìàëüíîé, åñëè ïîëîæèòü
        y − y0     x − x0
                 =          ,                                          (Ï3.3)
        y1 − y 0   x1 − x 0
òî åñòü ëèíèÿ      s , ñîåäèíÿþùàÿ äâå òî÷êè (x0 , y 0 ) è (x1 , y1 ) - ïðÿìàÿ.
     Õàðàêòåðíàÿ îñîáåííîñòü çàäà÷ âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ, â îò-
ëè÷èè îò îáû÷íûõ çàäà÷ íàõîæäåíèÿ ìàêñèìóìà èëè ìèíèìóìà ôóíê-
öèè, ñîñòîèò â òîì, ÷òî íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ è å¸ ïðîèçâîäíàÿ íàõîäÿò-
ñÿ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà.
     Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (Ï3.1) ìû äîëæíû çíàòü çíà÷åíèÿ x
äëÿ âñåõ çíà÷åíèé t â ñîîòâåòñòâóþùåì èíòåðâàëå, è ÷òîáû ñäåëàòü èí-
òåãðàë ñòàöèîíàðíûì, äîëæíû íàéòè áåñêîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé x .
Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è íåîáõîäèìî äàòü ñòðîãîå îïðåäåëå-
íèå ïîíÿòèþ «ñòàöèîíàðíîñòè» èíòåãðàëà.
                dx
       Ïîëàãàÿ     = p , ðàññìîòðèì f êàê ôóíêöèþ òð¸õ ïåðåìåííûõ
                dt
x , p, t è ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåêîòîðîé îáëàñòè D èçìåíåíèÿ ýòèõ
ïåðåìåííûõ, âòîðûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå              f ïî x , p, t íåïðåðûâíû
êàê ôóíêöèè x , p, t . Åñëè x (t ) è x ′(t ) óäîâëåòâîðÿþò ñäåëàííûì âûøå
ïðåäïîëîæåíèÿì è ðàçíèöà ìåæäó íèìè ìàëà, ìû ìîæåì íàïèñàòü
       x ′(t ) = x (t ) + δx (t ) ,                                    (Ï3.4)
ãäå
       δx (t ) = αg (t ),                                              (Ï3.5)

à   g (t ) - ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ êëàññà C 2 .