Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 275 стр.

                                                                    275
     Èç òîãî, ÷òî âûðàæåíèå (Ï3.8) ðàâíî íóëþ, åù¸ íå ñëåäóåò, ÷òî
        ∂f                           ∂f d ∂f
           = 0 ïðè t = t0 , t1 è ϕ =   −      =0                (Ï3.9)
        ∂p                           ∂x dt ∂p
äëÿ âñåõ ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèé t , êàê ìîæíî áûëî áû ñäåëàòü, åñëè
áû δx áûëà ïðîèçâîëüíîé. Ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà (åãî íåòðóäíî
íàéòè â ñîîòâåòñòâóþùåé ëèòåðàòóðå ïî âàðèàöèîííîìó èñ÷èñëåíèþ),
÷òî äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà (Ï3.8),   ∂f ∂p äîëæíî îáðàùàòüñÿ â íóëü
íà êîíöàõ èíòåðâàëà   t0 , t1 , à ðàâåíñòâî ϕ = 0 äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ âî
âñåõ ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷êàõ.  îáùåì ñëó÷àå     ∂f ∂p çàâèñèò îò p , ïî-
ýòîìó ϕ = 0 îáû÷íî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî x . Óñëîâèÿ çàäà÷è ìîãóò âêëþ÷àòü åù¸
è òðåáîâàíèå, ÷òîáû δx = 0 â òî÷êàõ t0 è t1 , êàê ýòî áûëî â ñëó÷àå
ïðîñòåéøåé çàäà÷è î íàõîæäåíèè êðàò÷àéøåãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâó-
ìÿ òî÷êàìè. Ïîñêîëüêó â âûðàæåíèè (Ï3.2) ìû ðàññìàòðèâàåì        y 0 è y1
êàê íàïåð¸ä çàäàííûå, ìû íå ìîæåì âàðüèðîâàòü      y íà êîíöàõ; è äîïó-
ñòèìûìè ñ÷èòàþòñÿ âñå ôóíêöèè    δy , äëÿ êîòîðûõ δy 0 = δy1 = 0 .  ýòîì
ñëó÷àå ∂f ∂p íå îáÿçàíî îáðàùàòüñÿ â íóëü íà êîíöàõ èíòåðâàëà, è
äâà ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ðåøåíèå, ñî-
ñòîÿò íå â ðàâåíñòâå íóëþ   ∂f ∂p íà êîíöàõ èíòåðâàëà, à â òîì, ÷òî òàì
y äîëæíî ïðèíèìàòü óêàçàííûå çíà÷åíèÿ.
     Âàæíûì äëÿ ïðèëîæåíèé, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà ôóíêöèÿ          f íå
                                                        ∂f d ∂f
ñîäåðæèò â ÿâíîì âèäå t . Óìíîæàÿ íà     p ðàâåíñòâî      −      =0
                                                        ∂x dt ∂p
ïîëó÷èì
        ∂ f dx    d ∂f
               −p        = 0.                                   (Ï3.10)
        ∂ x dt    dt ∂ p