Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 271 стр.

                                                                                              271


       Ïðèëîæåíèå II

       Îäíîðîäíûå ôóíêöèè,
       òåîðåìà Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ

     Îäíîðîäíûìè íàçûâàþò ïîëèíîìû, ñîñòîÿùèå èç ÷ëåíîâ îäíîãî è
òîãî æå èçìåðåíèÿ.
      Íàïðèìåð, âûðàæåíèå  2 x 2 − 3xy + 7 y 2 åñòü îäíîðîäíûé ïîëè-
íîì âòîðîé ñòåïåíè. Åñëè óìíîæèòü ïåðåìåííûå x è y íà íåêîòîðûé

ìíîæèòåëü t , òî âåñü ìíîãî÷ëåí ïðèîáðåò¸ò ìíîæèòåëü                         t 2 . Ýòî îáñòî-
ÿòåëüñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî ïîëèíîìà.
     Äàäèì îïðåäåëåíèå îäíîðîäíîé ôóíêöèè:
      Ôóíêöèÿ        f (x1 , x 2 ,..., xn ) îò n àðãóìåíòîâ, îïðåäåë¸ííàÿ â îáëà-
ñòè D , íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé ñòåïåíè m , åñëè ïðè óìíîæå-
íèè âñåõ å¸ àðãóìåíòîâ íà ìíîæèòåëü t ôóíêöèÿ ïðèîáðåòàåò ýòîò æå
ìíîæèòåëü â ñòåïåíè m , ÷òî ðàâíîñèëüíî òîæäåñòâåííîìó âûïîëíå-
íèþ ðàâåíñòâà
       f (tx1 , tx2 ,..., txn ) = t m ⋅ f (x1 , x2 ,..., x n ) .                      (Ï2.1)

     Ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ ôóíêöèþ f (x , y , z ) ñòåïåíè m îò òð¸õ
ïåðåìåííûõ (êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ îãðàíè÷åíî äëÿ ïðîñòîòû ðàññóæ-
äåíèé), èìåþùóþ â îòêðûòîé îáëàñòè D íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèç-
âîäíûå ïî âñåì àðãóìåíòàì. Äëÿ ïðîèçâîëüíî çàôèêñèðîâàííîé òî÷êè
(x0 , y0 , z0 ) èç   D , â ñèëó îñíîâíîãî òîæäåñòâà (Ï2.1) ìîæåì çàïèñàòü
äëÿ ëþáîãî t > 0 :
       f (tx0 , ty0 , tz0 ) = t m ⋅ f (x0 , y 0 , z 0 ) .                             (Ï2.2)
     Äèôôåðåíöèðóÿ ëåâóþ ÷àñòü (Ï2.2) ïî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðîâà-
íèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè, à ïðàâóþ ïðîñòî êàê ñòåïåííóþ, ïîëó÷èì
       f x′(tx0 , ty0 , tz0 )x0 + f y′ (tx0 , ty 0 , tz0 )y 0 + f z′(tx0 , ty0 , tz0 )z 0 =