Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 278 стр.

278                                                                 Ïðèëîæåíèÿ

                                                               t1
                   n
                           ∂f            n
                                             ∂f      
       δS =  f − ∑ q& r       ∆t + ∑        ∆qr  +
                  R =1   ∂q& r       r =1 ∂q
                                              &r      t0

                  ∂f   d ∂f 
         t1   n
       + ∫∑          −         δqr dt ,                               (Ï3.20)
         t0 r =1 
                   ∂qr dt ∂q& r 

ãäå, åñëè     ∆t1 ≠ 0 , òî
       (∆qr )1 = (qr + δqr )t + ∆t − (qr )t
                                   1    1         1
                                                                        (Ï3.21)

è àíàëîãè÷íî, åñëè       ∆t 0 ≠ 0 . Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà âàðè-
àöèè   δqr ìîãóò áûòü âûáðàíû íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, óñëîâèÿ ñòà-
öèîíàðíîñòè S òàêîâû, ÷òî

       ∂f  d  ∂f            
          −                 = 0 ,       r = 1,2,..., n ,            (Ï3.22)
       ∂qr dt  ∂q& r         

               n
                     ∂f            n
                                       ∂f
        f − ∑ q& r       ∆t + ∑        ∆qr = 0 .                    (Ï3.23)
             r =1   ∂q& r       r =1 ∂q
                                        &r
       Óñëîâèå (Ï3.23) âûïîëíÿåòñÿ íà îáîèõ ïðåäåëàõ èíòåãðèðîâàíèÿ.
Åñëè   f íå ñîäåðæèò â ÿâíîì âèäå t , òî ïåðâûé èíòåãðàë èìååò âèä
                n
                      ∂f
       f − ∑ q& r           = const .                                   (Ï3.24)
               r =1   ∂q& r
       Åñëè     ∆t0 = ∆t1 = 0 , òî
              ∂f
       δqr          =0                                                  (Ï3.25)
              ∂q& r
íà êîíöàõ èíòåðâàëà èíòåãðèðîâàíèÿ.