Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

28
Ãëàâà ïåðâàÿ
Çàäà÷à 7
Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïîä äåéñòâèåì íåêîòîðîé çàäàííîé (âíóòðåí-
íåé) ñèëû F
r
äâèæåòñÿ ïî çàäàííîé ãëàäêîé
1
ïîâåðõíîñòè
()
0,,
=ϕ
zyx
òàê, ÷òî ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà íå ìîæåò ïîêèíóòü ïîâåðõíîñòü. Îïðåäå-
ëèòü çàêîíû äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.
Ðåøåíèå çàäà÷è.
Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ çàäàííîé
ïîâåðõíîñòüþ. Âûðàçèì çàäàí-
íóþ ñèëó
F
r
÷åðåç å¸ ñîñòàâëÿþ-
ùèå: kZjYiXF
r
rr
r
++=
.
Òàê êàê ìàòåðèàëüíàÿ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè
è íå ìîæåò å¸ ïîêèíóòü, ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ìàòåðèàëüíóþ ÷àñòè-
öó íàëîæåíà äâóõñòîðîííÿÿ (íåîñâîáîæäàþùàÿ) ñâÿçü, óðàâíåíèå êîòî-
ðîé âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîì
()
0,,
=ϕ
zyx ,
2
C∈ϕ . (Ïðè îäíîñòîðîí-
íåé (îñâîáîæäàþùåé) ñâÿçè, ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìîæåò ïîêèíóòü ïî-
âåðõíîñòü, óñëîâèå ñâÿçè âûðàæàåòñÿ íåðàâåíñòâîì).
Òàê êàê ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà âñ¸ âðåìÿ íàõîäèòüñÿ íà çàäàííîé
ïîâåðõíîñòè, å¸ êîîðäèíàòû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè óäîâëåòâîðÿþò
óðàâíåíèþ ïîâåðõíîñòè
()
0,,
=ϕ
zyx . (1.5.4)
Äèôôåðåíöèðóÿ (1.5.4) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì
0=
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
dt
dz
zdt
dy
ydt
dx
x
, (1.5.5)
ãäå êîýôôèöèåíòû
x
∂
ϕ∂
,
y∂
ϕ∂
,
z
∂
ϕ∂
åñòü çàäàííûå ôóíêöèè ïåðåìåííûõ
zyx ,, êëàññà
1
C .
Íàéòè
()
0,,,,,,
=
tzyxzyxf
&
&&
Äàíî F
r
,
()
0,,
=ϕ
zyx
1
Ïîâåðõíîñòü ñ÷èòàåòñÿ ãëàäêîé, åñëè äâèæåíèå ïî íåé îñóùåñòâëÿåòñÿ áåç òðå-
íèÿ.
28                                                              Ãëàâà ïåðâàÿ
       Çàäà÷à 7

       Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïîä äåéñòâèåì íåêîòîðîé çàäàííîé (âíóòðåí-
            r
íåé) ñèëû F äâèæåòñÿ ïî çàäàííîé ãëàäêîé1 ïîâåðõíîñòè ϕ(x, y , z ) = 0
òàê, ÷òî ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà íå ìîæåò ïîêèíóòü ïîâåðõíîñòü. Îïðåäå-
ëèòü çàêîíû äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.

       Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.
                                                   Ðåøåíèå çàäà÷è.
Íàéòè           f (x, y , z , x& , y& , z&, t ) = 0
                r                                        Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ çàäàííîé
Äàíî            F,                                  ïîâåðõíîñòüþ. Âûðàçèì çàäàí-
                                                             r
                ϕ(x, y , z ) = 0                    íóþ ñèëó F ÷åðåç å¸ ñîñòàâëÿþ-
                                                          r    r r        r
                                                    ùèå: F = Xi + Yj + Zk .
      Òàê êàê ìàòåðèàëüíàÿ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè
è íå ìîæåò å¸ ïîêèíóòü, ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ìàòåðèàëüíóþ ÷àñòè-
öó íàëîæåíà äâóõñòîðîííÿÿ (íåîñâîáîæäàþùàÿ) ñâÿçü, óðàâíåíèå êîòî-
ðîé âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîì ϕ(x, y , z ) = 0 , ϕ ∈ C 2 . (Ïðè îäíîñòîðîí-
íåé (îñâîáîæäàþùåé) ñâÿçè, ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìîæåò ïîêèíóòü ïî-
âåðõíîñòü, óñëîâèå ñâÿçè âûðàæàåòñÿ íåðàâåíñòâîì).
      Òàê êàê ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà âñ¸ âðåìÿ íàõîäèòüñÿ íà çàäàííîé
ïîâåðõíîñòè, å¸ êîîðäèíàòû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè óäîâëåòâîðÿþò
óðàâíåíèþ ïîâåðõíîñòè
       ϕ(x, y , z ) = 0 .                                               (1.5.4)
       Äèôôåðåíöèðóÿ (1.5.4) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì
       ∂ϕ dx ∂ϕ dy ∂ϕ dz
            +     +      = 0,                                           (1.5.5)
       ∂x dt ∂y dt ∂z dt
                        ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
ãäå êîýôôèöèåíòû          ,  ,   åñòü çàäàííûå ôóíêöèè ïåðåìåííûõ
                        ∂x ∂y ∂z
x, y , z êëàññà C1 .
1
 Ïîâåðõíîñòü ñ÷èòàåòñÿ ãëàäêîé, åñëè äâèæåíèå ïî íåé îñóùåñòâëÿåòñÿ áåç òðå-
íèÿ.

Страницы