Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

30
Ãëàâà ïåðâàÿ
âîçìîæíîì ïåðåìåùåíèè. Ïîêàæåì ýòî. Îáîçíà÷èì ñîñòàâëÿþùèå ñèëû
ðåàêöèè F
′
r
÷åðåç ZYX
′′′
,, , òîãäà ó÷èòûâàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü ñèëû
ðåàêöèè F
′
r
ê ïîâåðõíîñòè
()
0,,
=ϕ
zyx â òî÷êå zyx ,, , ìû ìîæåì
íàïèñàòü (óðàâíåíèå íîðìàëè)
z
Z
y
Y
x
X
∂
ϕ∂
′
=
∂
ϕ∂
′
=
∂
ϕ∂
′
. (1.5.7)
Ïåðåïèøåì (1.5.7) ñëåäóþùèì îáðàçîì
λ=
∂
ϕ∂
′
=
∂
ϕ∂
′
=
∂
ϕ∂
′
z
Z
y
Y
x
X
, (1.5.8)
ãäå
λ
- íåêîòîðîå ÷èñëî. Èç (1.5.8) ñëåäóåò, ÷òî
x
X
∂
ϕ∂
λ=
′
,
y
Y
∂
ϕ∂
λ=
′
,
z
Z
∂
ϕ∂
λ=
′
. (1.5.9)
Ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â (1.5.6) è ñîêðàòèâ íà
λ
ïîëó÷èì
0=
′
+
′
+
′
dzZdyYdxX
. (1.5.10)
Óðàâíåíèå (1.5.10) ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ðåàêöèåé
ñâÿçè íà âîçìîæíûõ ïåðåìåùåíèÿõ, ðàâíà íóëþ.
 äàííîé çàäà÷å êàæäàÿ èç äåéñòâóþùèõ ñèë ïðèíàäëåæèò ê îäíî-
ìó èç äâóõ êëàññîâ: êëàññó çàäàííûõ ñèë (ñèëà F
r
) è êëàññó ðåàêöèé ñâÿçè
(ðåàêöèÿ ïîâåðõíîñòè), êîòîðûå â òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå ïðèíÿòî ðàç-
äåëÿòü íà âíóòðåííèå è âíåøíèå ñèëû.
Çàäà÷à 8.
Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïîä äåéñòâèåì íåêîòîðîé çàäàííîé ñèëû F
r
äâè-
æåòñÿ ïî çàäàííîé èçìåíÿþùåéñÿ âî âðåìåíè ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè
()
0,,,
=ψ
tzyx ,
2
C
∈ψ
òàê, ÷òî ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà íå ìîæåò ïîêè-
íóòü ïîâåðõíîñòü. Îïðåäåëèòü çàêîíû äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
30                                                       Ãëàâà ïåðâàÿ
âîçìîæíîì ïåðåìåùåíèè. Ïîêàæåì ýòî. Îáîçíà÷èì ñîñòàâëÿþùèå ñèëû
        r
ðåàêöèè F ′ ÷åðåç X ′, Y ′, Z ′ , òîãäà ó÷èòûâàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü ñèëû
        r
ðåàêöèè F ′ ê ïîâåðõíîñòè ϕ(x, y , z ) = 0 â òî÷êå x , y , z , ìû ìîæåì
íàïèñàòü (óðàâíåíèå íîðìàëè)

      X′ Y′     Z′
         =    =    .                                            (1.5.7)
      ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
      ∂x   ∂y   ∂z
     Ïåðåïèøåì (1.5.7) ñëåäóþùèì îáðàçîì

      X′ Y′     Z′
         =    =    =λ,                                          (1.5.8)
      ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
      ∂x   ∂y   ∂z
ãäå λ - íåêîòîðîå ÷èñëî. Èç (1.5.8) ñëåäóåò, ÷òî
              ∂ϕ         ∂ϕ          ∂ϕ
      X′= λ      , Y′= λ    , Z′ = λ    .                       (1.5.9)
              ∂x         ∂y          ∂z
     Ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â (1.5.6) è ñîêðàòèâ íà λ ïîëó÷èì
      X ′dx + Y ′dy + Z ′dz = 0 .                            (1.5.10)
     Óðàâíåíèå (1.5.10) ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ðåàêöèåé
ñâÿçè íà âîçìîæíûõ ïåðåìåùåíèÿõ, ðàâíà íóëþ.
      äàííîé çàäà÷å êàæäàÿ èç äåéñòâóþùèõ ñèë ïðèíàäëåæèò ê îäíî-
                                               r
ìó èç äâóõ êëàññîâ: êëàññó çàäàííûõ ñèë (ñèëà F ) è êëàññó ðåàêöèé ñâÿçè
(ðåàêöèÿ ïîâåðõíîñòè), êîòîðûå â òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå ïðèíÿòî ðàç-
äåëÿòü íà âíóòðåííèå è âíåøíèå ñèëû.

     Çàäà÷à 8.
                                                                  r
     Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïîä äåéñòâèåì íåêîòîðîé çàäàííîé ñèëû F äâè-
æåòñÿ ïî çàäàííîé èçìåíÿþùåéñÿ âî âðåìåíè ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè
ψ(x, y , z , t ) = 0 , ψ ∈ C 2 òàê, ÷òî ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà íå ìîæåò ïîêè-
íóòü ïîâåðõíîñòü. Îïðåäåëèòü çàêîíû äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.

Страницы