Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 281 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

281
∑
=
δ
∂
∂
=δ
N
m
m
m
r
r
q
q
x
x
1
, (Ï3.35)
∑
=
∂
∂
=
N
m
m
m
r
r
q
q
x
x
1
&&
, (Ï3.36)
m
r
m
r
q
x
q
x
∂
∂
=
∂
∂
&
&
, (Ï3.37)
2
11
2
∑∑
==
∂
∂
=
N
r
N
m
m
m
r
r
q
q
x
mT
&
, (Ï3.38)
∑∑∑∑
====
δ=
∂
∂
δ=δ
N
m
mm
N
m
N
r
m
r
rm
N
r
rr
qQ
q
x
XqxX
1111
. (Ï3.39)
Ñ ó÷¸òîì íàïèñàííûõ âûøå âûðàæåíèé íàïèøåì (Ï3.33) â âèäå
0
1
0
1
=
δ+δ=δ
∫
∑
=
dtqQTS
t
t
N
m
mm
, (Ï3.40)
ãäå T (êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ) è
m
Q
(îáîáù¸ííûå ñèëû) ÿâëÿþòñÿ ôóí-
êöèÿìè îò
m
q
è
m
q
&
.
 ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûìè âûøå ïðàâèëàìè âàðèàöèîííîãî
èñ÷èñëåíèÿ, ìû ìîæåì çàïèñàòü
dtq
q
T
dt
d
q
T
q
q
T
Tdt
m
t
t
t
t
N
m
mm
t
t
N
m
m
m
δ
∂
∂
−
∂
∂
+
δ
∂
∂
=δ
∫∫
∑∑
==
1
0
1
0
1
0
11
&&
è, ñëåäóÿ óñëîâèþ (Ï3.40), äëÿ âñåõ äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìûõ
m
q
δ ,
ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè
m
q
δ , ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà
                                                                                      281

                  N
                       ∂x r
       δx r = ∑             δqm ,                                                  (Ï3.35)
                  m =1 ∂qm

              N
                   ∂x r
       x& r = ∑         q& m ,                                                     (Ï3.36)
              m =1 ∂qm


       ∂x& r  ∂x
             = r ,                                                                 (Ï3.37)
       ∂q& m ∂qm
                                                2
                   N ∂x
                  N
                              
       2T = ∑ mr  ∑ r q& m  ,                                                  (Ï3.38)
            r =1   m =1 ∂qm  
        N                 N         N
                                                    ∂x r   N

       ∑ X r δxr = ∑ δqm ∑ X r
       r =1              m =1       r =1
                                                         = ∑ Qm δqm .
                                                    ∂qm m =1
                                                                                   (Ï3.39)

       Ñ ó÷¸òîì íàïèñàííûõ âûøå âûðàæåíèé íàïèøåì (Ï3.33) â âèäå

                             
             1t       N
       δS = ∫  δT + ∑ Qm δqm dt = 0 ,                                            (Ï3.40)
            t0      m =1     
ãäå   T (êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ) è Qm (îáîáù¸ííûå ñèëû) ÿâëÿþòñÿ ôóí-
êöèÿìè îò     qm è q& m .
     Â ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûìè âûøå ïðàâèëàìè âàðèàöèîííîãî
èñ÷èñëåíèÿ, ìû ìîæåì çàïèñàòü
                                           t1
                   N ∂T                    ∂T   d ∂T                 
       t1                            1 N             t

       ∫t  δTdt = ∑ ∂q&   δq m   + ∫ ∑       −                      δqm dt
         0         m =1 m      t0 t0 m =1  ∂qm dt ∂q& m               
è, ñëåäóÿ óñëîâèþ (Ï3.40), äëÿ âñåõ äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìûõ                           δqm ,
ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè                        δqm , ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

Страницы