Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 282 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

282
Ïðèëîæåíèÿ
m
mm
Q
q
T
q
T
dt
d
=
∂
∂
−
∂
∂
&
. (Ï3.41)
Âûâîä óðàâíåíèé Ëàãðàíæà èç ïðèíöèïà Ãàìèëüòîíà, îáúÿñíÿåò,
ïî÷åìó ëåâàÿ ÷àñòü (Ï3.41) èìååò âèä, õàðàêòåðíûé äëÿ óðàâíåíèé âà-
ðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.
Äàëåå, ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî â äåéñòâèòåëüíîñòè äâèæåíèå çàâèñèò
îò íåêîòîðûõ ñâÿçåé, íàëîæåííûõ íà
r
x
è, ñëåäîâàòåëüíî, íà
m
q
. Íàè-
áîëåå âàæåí ñëó÷àé, êîãäà íåêîòîðûå ÷àñòèöû ïðèíàäëåæàò îäíîìó
àáñîëþòíî òâåðäîìó òåëó, è êîîðäèíàòû ìîæíî âàðüèðîâàòü òîëüêî òàê,
÷òîáû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè ýòîãî òåëà îñòàâàëèñü íåèçìåííû-
ìè. Äðóãîé âàæíûé ñëó÷àé, êîãäà êàêàÿ-òî êîîðäèíàòà âûíóæäåíà èç-
ìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè îïðåäåëåííûì îáðàçîì ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé
ñèëû, íàïðèìåð ÷àñòü ñèñòåìû äîëæíà äâèãàòüñÿ ñ çàäàííîé ëèíåéíîé
èëè óãëîâîé ñêîðîñòüþ. Îäíàêî ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü âàðèàöèè
m
q
δ , íàðóøàþùèå ýòè îãðàíè÷åíèÿ; è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåì ñ÷èòàòü
âñå
m
q
δ íåçàâèñèìûìè è ïðèðàâíÿòü ïðè íèõ êîýôôèöèåíòû.
Òîãäà óðàâíåíèÿ (Ï3.41) îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè, íî ìåíÿåòñÿ èõ
ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ.  òî âðåìÿ êàê â ñèñòåìå ñâîáîäíûõ ÷àñòèö
óðàâíåíèÿ (Ï3.41) - ýòî äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ íåçàâèñèìûõ
êîîðäèíàò, â ñèñòåìå ñ äîïîëíèòåëüíûìè ñâÿçÿìè â äåéñòâèòåëüíîì äâè-
æåíèè íåêîòîðûå èç
m
q
áóäóò îïðåäåëåííûìè ôóíêöèÿìè îò äðóãèõ
êîîðäèíàò è îò âðåìåíè, à ñîîòâåòñòâóþùèå èì
m
Q
ðåàêöèÿìè, íåîáõî-
äèìûìè äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòè ñâÿçè íå íàðóøàëèñü. Äàëåå, ïðèíÿòî èñ-
ïîëüçîâàòü ìíîæåñòâî òîëüêî òåõ
m
q
, êîòîðûå ìîæíî âàðüèðîâàòü, íå
íàðóøàÿ íàëîæåííûå íà ñèñòåìó ñâÿçè. ×èñëî èõ êàê ðàç äîñòàòî÷íî
äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ. Òîãäà äëÿ ýòîãî ìíîæåñòâà âûïîëíÿþòñÿ óðàâ-
íåíèÿ Ëàãðàíæà. Äðóãèå æå
m
q
íå íàäî ðàññìàòðèâàòü ñîâñåì, äî òåõ
ïîð, ïîêà ìû íå çàõîòèì íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå ðåàêöèè â ÿâíîì âèäå.
Îäíàêî âîçìîæíî, ÷òî íåêîòîðûå
m
q
èç ïîñëåäíåãî ìíîæåñòâà ôóíê-
öèîíàëüíî çàâèñÿò îò âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå
r
x
, çàâèñÿùèå îò òåõ
m
q
,
282                                                      Ïðèëîæåíèÿ

       d ∂T      ∂T
               −    = Qm .                                      (Ï3.41)
       dt ∂q& m ∂qm
    Âûâîä óðàâíåíèé Ëàãðàíæà èç ïðèíöèïà Ãàìèëüòîíà, îáúÿñíÿåò,
ïî÷åìó ëåâàÿ ÷àñòü (Ï3.41) èìååò âèä, õàðàêòåðíûé äëÿ óðàâíåíèé âà-
ðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.
    Äàëåå, ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî â äåéñòâèòåëüíîñòè äâèæåíèå çàâèñèò
îò íåêîòîðûõ ñâÿçåé, íàëîæåííûõ íà   x r è, ñëåäîâàòåëüíî, íà qm . Íàè-
áîëåå âàæåí ñëó÷àé, êîãäà íåêîòîðûå ÷àñòèöû ïðèíàäëåæàò îäíîìó
àáñîëþòíî òâåðäîìó òåëó, è êîîðäèíàòû ìîæíî âàðüèðîâàòü òîëüêî òàê,
÷òîáû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè ýòîãî òåëà îñòàâàëèñü íåèçìåííû-
ìè. Äðóãîé âàæíûé ñëó÷àé, êîãäà êàêàÿ-òî êîîðäèíàòà âûíóæäåíà èç-
ìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè îïðåäåëåííûì îáðàçîì ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé
ñèëû, íàïðèìåð ÷àñòü ñèñòåìû äîëæíà äâèãàòüñÿ ñ çàäàííîé ëèíåéíîé
èëè óãëîâîé ñêîðîñòüþ. Îäíàêî ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü âàðèàöèè
δqm , íàðóøàþùèå ýòè îãðàíè÷åíèÿ; è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåì ñ÷èòàòü
âñå   δqm íåçàâèñèìûìè è ïðèðàâíÿòü ïðè íèõ êîýôôèöèåíòû.
     Òîãäà óðàâíåíèÿ (Ï3.41) îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè, íî ìåíÿåòñÿ èõ
ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ.  òî âðåìÿ êàê â ñèñòåìå ñâîáîäíûõ ÷àñòèö
óðàâíåíèÿ (Ï3.41) - ýòî äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ íåçàâèñèìûõ
êîîðäèíàò, â ñèñòåìå ñ äîïîëíèòåëüíûìè ñâÿçÿìè â äåéñòâèòåëüíîì äâè-
æåíèè íåêîòîðûå èç   qm áóäóò îïðåäåëåííûìè ôóíêöèÿìè îò äðóãèõ
êîîðäèíàò è îò âðåìåíè, à ñîîòâåòñòâóþùèå èì   Qm ðåàêöèÿìè, íåîáõî-
äèìûìè äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòè ñâÿçè íå íàðóøàëèñü. Äàëåå, ïðèíÿòî èñ-
ïîëüçîâàòü ìíîæåñòâî òîëüêî òåõ   qm , êîòîðûå ìîæíî âàðüèðîâàòü, íå
íàðóøàÿ íàëîæåííûå íà ñèñòåìó ñâÿçè. ×èñëî èõ êàê ðàç äîñòàòî÷íî
äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ. Òîãäà äëÿ ýòîãî ìíîæåñòâà âûïîëíÿþòñÿ óðàâ-
íåíèÿ Ëàãðàíæà. Äðóãèå æå    qm íå íàäî ðàññìàòðèâàòü ñîâñåì, äî òåõ
ïîð, ïîêà ìû íå çàõîòèì íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå ðåàêöèè â ÿâíîì âèäå.
Îäíàêî âîçìîæíî, ÷òî íåêîòîðûå    qm èç ïîñëåäíåãî ìíîæåñòâà ôóíê-
öèîíàëüíî çàâèñÿò îò âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå   x r , çàâèñÿùèå îò òåõ qm ,

Страницы