Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 285 стр.

                                                                         285

t0 , t1 , (qm )0 , (qm )1 . Âåëè÷èíó S íàçîâ¸ì ãëàâíîé ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà.
Ýòî ôóíêöèÿ îò     qm äëÿ ðåàëüíûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè t0 , t1 , íî òàê êàê
îíè ìîãóò èçìåíÿòüñÿ, ìîæíî çàìåíèòü t1 íà t .
     Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî ïîñëåäíèé èíòåãðàë â (Ï3.47), â ñèëó
óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, îáðàùàåòñÿ â íóëü, ìû ìîæåì äëÿ ìîìåíòà âðå-
ìåíè t çàïèñàòü
     ∂S         ∂S
        = −H ,     = pm ,                                            (Ï3.48)
     ∂t        ∂qm
à äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè       t0

      ∂S                         ∂S 
           = (H )t0 ,                 = −( pm )t0 .          (Ï3.49)
       ∂t0                        ∂qm 0 
     Èñïîëüçóÿ (Ï3.46) ìû ìîæåì èñêëþ÷èòü            q& m èç H , òîãäà H ñòà-
íåò ôóíêöèåé     qm , pm è, âîçìîæíî, t . Òåïåðü ìû ìîæåì çàïèñàòü

     ∂S                                    ∂S 
        = − H (qm , p m , t ) = − H  qm ,    ,t ,                 (3.50)
     ∂t                                    ∂qm 
ÿâëÿþùååñÿ óðàâíåíèåì Ãàìèëüòîíà-ßêîáè, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà
îò n + 1 ïåðåìåííîé. Â íåãî íå âõîäèò S â ÿâíîì âèäå, è ïîýòîìó åãî
ïîëíûé èíòåãðàë ñîäåðæèò n + 1 íåçàâèñèìûõ ïîñòîÿííûõ. Ñ íàøåé
ïåðâîíà÷àëüíîé òî÷êè çðåíèÿ, S ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî             t è ñîäåð-
æèò 2 n + 1 ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ, à èìåííî            t0 , èñõîäíûå êîîðäè-
íàòû è èìïóëüñû. Îäíàêî åñëè íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå êîîðäèíàòû è
t − t0 çàäàíû, òî íà÷àëüíûå èìïóëüñû îïðåäåëåíû è, ñëåäîâàòåëüíî, íå
ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîëüíûìè. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî, ÷òî S , âûðàæåííîå êàê
ôóíêöèÿ   t è qm , âêëþ÷àåò èìåííî n + 1 ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ.