Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 286 стр.

286                                                            Ïðèëîæåíèÿ
     Åñëè L íå çàâèñèò îò âðåìåíè ÿâíî, òî H = const åñòü èíòåãðàë
ýíåðãèè (èíòåãðàë ßêîáè (3.5.3)). Îáîçíà÷èâ ïîñëåäíþþ ïîñòîÿííóþ
÷åðåç h , ìîæåì çàïèñàòü

        ∂S               ∂S 
           = −h ,             = h .                              (Ï3.51)
        ∂t                ∂t0 
      Ïîýòîìó
        S = − h (t − t0 ) + f (qm , qm 0 ) .                         (Ï3.52)

                           ∂S
      Êàê è ðàíüøå,             ðàâíî ïðîñòî − pm 0 , ÷òî íå çàâèñèò îò t , è,
                          ∂qm 0
òàêèì îáðàçîì, ó íàñ åñòü          n óðàâíåíèé, âûðàæàþùèõ òîò ôàêò, ÷òî
 ∂S
      , ÿâëÿþùèåñÿ ôóíêöèÿìè qm , qm 0 è, ìîæåò áûòü, t , ïîñòîÿííû âî
∂qm 0
âðåìÿ âñåãî äâèæåíèÿ è ðàâíû              − pm 0 .
      Îòñþäà åñëè ìû çàäàëè S , òî ó íàñ åñòü n óðàâíåíèé äëÿ îïðåäå-
ëåíèÿ    qm , ÷åðåç t è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ; ïîýòîìó, åñëè ìîæíî îïðåäå-
ëèòü S , òî ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ýòèõ óðàâíåíèé.
Ýòîò ðåçóëüòàò ïðèíàäëåæèò Ãàìèëüòîíó. Ñëîæíîñòü åãî ïðèìåíåíèÿ â
òîëüêî ÷òî ñôîðìóëèðîâàííîì âèäå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî, õîòÿ áûâà-
åò äîâîëüíî ëåãêî ïîëó÷èòü ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (Ï3.50), âêëþ-
÷àþùèé n + 1 ïîñòîÿííûõ, ýòè ïîñòîÿííûå îáû÷íî çàâèñÿò è îò             qm 0 è
îò   pm 0 è âûðàçèòü èõ òîëüêî ÷åðåç qm 0 ÷àñòî íåëåãêî. Ýòà òåîðåìà
áûëà äîïîëíåíà ßêîáè, êîòîðûé îáíàðóæèë, ÷òî ëþáîé ïîëíûé èíòåã-
ðàë óðàâíåíèÿ (Ï3.50) ìîæíî èñïîëüçîâàòü òî÷íî òàêèì æå îáðàçîì,
êàê è ïîëíûé èíòåãðàë, çàâèñÿùèé òîëüêî îò           qm 0 . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà
òåîðåìû ßêîáè íåîáõîäèìî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â Ãàìèëüòî-
íîâîé ôîðìå.