Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 287 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

287
7. Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà
Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà L çàâèñèò îò
mm
qq
&
,
è, âîçìîæíî, îò t , à ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà çàâèñèò îò
mm
pq
, è, âîç-
ìîæíî, îò t . Ñ ó÷¸òîì âûøåñêàçàííîãî, äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âàðèàöèé
m
q
è
m
q
&
ïðè íåèçìåííîì t , èñïîëüçóÿ ïðàâèëî ñóììèðîâàíèÿ ïî èí-
äåêñó m ìû ìîæåì íàïèñàòü
()
m
m
m
m
mmmmmm
q
q
L
q
q
L
qppqLpqH
&
&
&&&
δ
∂
∂
−δ
∂
∂
−δ+δ=−δ=δ
. (Ï3.53)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
m
m
q
L
p
&
∂
∂
= , ïåðåïèøåì (Ï3.53) â âèäå
m
m
mm
q
q
L
pqH
δ
∂
∂
−δ=δ
&
. (Ï3.54)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû
m
m
m
m
p
p
H
q
q
H
H
δ
∂
∂
+δ
∂
∂
=δ . (Ï3.55)
Ñðàâíèâàÿ (Ï3.54) è (Ï3.55), ïîëó÷èì
m
m
p
H
q
∂
∂
=
&
,
mm
q
L
q
H
∂
∂
−=
∂
∂
. (Ï3.56)
Èç óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ
m
p
&
(ñì., òàêæå,
(5.1.10))
mmm
mm
q
H
q
L
q
L
dt
d
p
dt
d
p
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂
==
&
&
, (Ï3.57)
è îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì
                                                                      287
       7. Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

      Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà      L çàâèñèò îò qm , q&m
è, âîçìîæíî, îò    t , à ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà çàâèñèò îò q m , p m è, âîç-
ìîæíî, îò t . Ñ ó÷¸òîì âûøåñêàçàííîãî, äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âàðèàöèé
qm è q&m ïðè íåèçìåííîì t , èñïîëüçóÿ ïðàâèëî ñóììèðîâàíèÿ ïî èí-
äåêñó m ìû ìîæåì íàïèñàòü
                                            ∂L        ∂L
δH = δ(q&m pm − L ) = q&m δpm + pm δq&m −       δqm −      δq&m . (Ï3.53)
                                            ∂qm       ∂q&m

                              ∂L
      Ó÷èòûâàÿ, ÷òî    pm =        , ïåðåïèøåì (Ï3.53) â âèäå
                              ∂q&m

                       ∂L
      δH = q&m δpm −       δqm .                                 (Ï3.54)
                       ∂qm
      Ñ äðóãîé ñòîðîíû
               ∂H        ∂H
      δH =         δqm +     δpm .                               (Ï3.55)
               ∂qm       ∂pm
      Ñðàâíèâàÿ (Ï3.54) è (Ï3.55), ïîëó÷èì
               ∂H    ∂H     ∂L
      q&m =        ,     =−     .                                (Ï3.56)
               ∂pm   ∂qm    ∂qm
      Èç óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ         p& m (ñì., òàêæå,
(5.1.10))

               d      d  ∂L  ∂L        ∂H
      p& m =      pm =         =  =−     ,                   (Ï3.57)
               dt     dt  ∂q&m  ∂qm    ∂qm
è îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì

Страницы