Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 288 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

288
Ïðèëîæåíèÿ
m
m
q
H
p
∂
∂
−=
&
,
m
m
p
H
q
∂
∂
=
&
. (Ï3.58)
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà, ïðåäñòàâëÿ-
þùèå ñîáîé ñèñòåìó
n2
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿä-
êà, â îòëè÷èå îò n óðàâíåíèé Ëàãðàíæà âòîðîãî ïîðÿäêà.
Óñòàíîâèì ñâÿçü óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà ñ âàðèàöèîííûì ïðèíöè-
ïîì. Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå
(){}
∫
−=
1
0
,
t
t
mmmm
dtpqHqpB
&
. (Ï3.59)
Åãî âàðèàöèÿ åñòü
∫
=
δ
∂
∂
−δ
∂
∂
−δ+δ=δ
1
0
t
t
m
m
m
m
mmmm
dtp
p
H
q
q
H
pqqpB
&&
[]
∫
δ
∂
∂
−δ
∂
∂
−δ+δ−+δ=
1
0
1
0
t
t
m
m
m
m
mmmm
t
t
mm
dtp
p
H
q
q
H
pqqpqp
&&
. (Ï3.60)
Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà
m
m
q
H
p
∂
∂
−=
&
,
m
m
p
H
q
∂
∂
=
&
(Ï3.58)
ÿâëÿþòñÿ óñëîâèÿìè ñòàöèîíàðíîñòè B äëÿ âñåõ âàðèàöèé
mm
pq
δδ , ,
òàêèõ, ÷òî 0=δ
m
q
ïðè
10
,
tt , åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî
m
p
è
m
q
èçìåíÿ-
þòñÿ íåçàâèñèìî. Êîãäà óðàâíåíèÿ (Ï3.58) óäîâëåòâîðåíû, à ïðåäåëû
èíòåãðèðîâàíèÿ èçìåíÿþòñÿ, ìîæíî çàïèñàòü
()
[][]
1
0
1
0
t
t
mm
t
t
mmmm
tHqpqptHqpB ∆−∆=δ+∆−=δ
&
, (Ï3.61)
÷òî â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì äëÿ
S∆
.
288                                                                      Ïðèëîæåíèÿ

                       ∂H           ∂H
      p& m = −             , q& m =     .                                      (Ï3.58)
                       ∂qm          ∂pm
      Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà, ïðåäñòàâëÿ-
þùèå ñîáîé ñèñòåìó 2n äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿä-
êà, â îòëè÷èå îò n óðàâíåíèé Ëàãðàíæà âòîðîãî ïîðÿäêà.

     Óñòàíîâèì ñâÿçü óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà ñ âàðèàöèîííûì ïðèíöè-
ïîì. Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå
             t1

      B = ∫ {pm q&m − H (qm , pm )}dt .                                        (Ï3.59)
            t0

      Åãî âàðèàöèÿ åñòü

                                                      
                  t1
                                    ∂H        ∂H
      δB = ∫  pm δq&m + q&m δpm −     δqm −     δpm dt =
           t0 
                                    ∂qm       ∂pm      

                                                                       
                         t1
                                                     ∂H        ∂H
= [pm δq    ]          + ∫  − p& m δqm + q&m δpm −     δqm −     δpm dt . (Ï3.60)
             t1

                                                     ∂qm       ∂pm
           m t0
                         t0                                            
      Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà
                       ∂H           ∂H
      p& m = −             , q& m =                                            (Ï3.58)
                       ∂qm          ∂pm
ÿâëÿþòñÿ óñëîâèÿìè ñòàöèîíàðíîñòè                    B äëÿ âñåõ âàðèàöèé δ q m , δ p m ,
òàêèõ, ÷òî      δq m = 0            ïðè   t0 ,t1 , åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî pm è qm èçìåíÿ-
þòñÿ íåçàâèñèìî. Êîãäà óðàâíåíèÿ (Ï3.58) óäîâëåòâîðåíû, à ïðåäåëû
èíòåãðèðîâàíèÿ èçìåíÿþòñÿ, ìîæíî çàïèñàòü

      δB = [( pm q&m − H )∆t + pm δqm ]t10 = [pm ∆qm − H∆t ]t10 ,
                                                 t                       t
                                                                               (Ï3.61)

÷òî â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì äëÿ ∆S .

Страницы