Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 290 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

290
Ïðèëîæåíèÿ
0=
α∂
∂
∂
∂
−=
α∂
∂
+
α∂
∂
∂
∂
−
r
m
m
m
r
m
m
r
m
m
p
p
H
q
p
q
p
p
H
&&
(Ï3.66)
äëÿ
nr ,...,2,1=
. Ðàâåíñòâà (Ï3.66) áóäóò âûïîëíÿòüñÿ åñëè
m
m
p
H
q
∂
∂
=
&
, nm ,...2,1= , (Ï3.67)
èëè
()
()
0
,...,,
,...,,
21
21
=
ααα∂
∂
n
n
ppp
. (3.68)
Åñëè áû áûëî ñïðàâåäëèâî (Ï3.68), òî ñóùåñòâîâàëè áû ôóíêöèî-
íàëüíûå ñâÿçè ìåæäó
m
p
è íà÷àëüíûå èìïóëüñû íå ìîãëè áû èçìåíÿòüñÿ
íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, è ìû â êà÷åñòâå âåðíîé âåðñèè âûáåðåì óñëî-
âèå (Ï3.67). Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè ðàâåíñòâî (Ï3.64)
αα
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
m
l
q
lmml
l
m
q
p
p
H
q
H
q
S
q
q
tdt
dp
&
. (Ï3.69)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
αα
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
m
l
q
l
p
mm
q
p
p
H
q
H
q
H
, (Ï3.70)
ïîëó÷èì
p
m
m
q
H
dt
dp
∂
∂
−= . (Ï3.71)
Èíäåêñû p,q,α â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîãëàøåíèÿìè ïðèíÿòûìè â òåð-
ìîäèíàìèêå îçíà÷àþò, ÷òî ïðè âçÿòèè ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðåìåí-
íûå, îáîçíà÷åííûå èíäåêñîì, ñîõðàíÿþòñÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ìû óáåäèëèñü, ÷òî
m
q
è
m
p
, íàéäåííûå èç (Ï3.63)
è (Ï3.64), óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà.
290                                                            Ïðèëîæåíèÿ

           ∂H ∂p m         ∂p            ∂H          ∂p
       −             + q& m m =  q& m −            m = 0        (Ï3.66)
           ∂p m ∂α r       ∂α r          ∂p m        ∂α r
äëÿ   r = 1,2,..., n . Ðàâåíñòâà (Ï3.66) áóäóò âûïîëíÿòüñÿ åñëè
               ∂H
       q&m =       , m = 1,2,...n ,                                 (Ï3.67)
               ∂pm
èëè
       ∂ ( p1 , p2 ,..., pn )
                              = 0.                                  (3.68)
       ∂ (α1 , α2 ,..., αn )
      Åñëè áû áûëî ñïðàâåäëèâî (Ï3.68), òî ñóùåñòâîâàëè áû ôóíêöèî-
íàëüíûå ñâÿçè ìåæäó        p m è íà÷àëüíûå èìïóëüñû íå ìîãëè áû èçìåíÿòüñÿ
íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, è ìû â êà÷åñòâå âåðíîé âåðñèè âûáåðåì óñëî-
âèå (Ï3.67). Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè ðàâåíñòâî (Ï3.64)

dpm  ∂         ∂  ∂S        ∂H   ∂H   ∂pl 
    =  + q&l         = −      +           .         (Ï3.69)
 dt     ∂t    ∂ql  ∂qm      ∂qm  α  ∂pl  q  ∂qm  α
       Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

        ∂H         ∂H   ∂H         ∂pl 
             =      +               ,               (Ï3.70)
         ∂qm  α  ∂qm  p  ∂pl       q  ∂qm  α
ïîëó÷èì

       dpm      ∂H 
           = −      .                                           (Ï3.71)
        dt      ∂qm  p
     Èíäåêñû α ,q , p â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîãëàøåíèÿìè ïðèíÿòûìè â òåð-
ìîäèíàìèêå îçíà÷àþò, ÷òî ïðè âçÿòèè ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðåìåí-
íûå, îáîçíà÷åííûå èíäåêñîì, ñîõðàíÿþòñÿ.
      Òàêèì îáðàçîì, ìû óáåäèëèñü, ÷òî        qm è p m , íàéäåííûå èç (Ï3.63)
è (Ï3.64), óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà.

Страницы