Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 291 стр.

                                                                   291


      Ïðèëîæåíèå IV
      Äâèæåíèå ïî çàêîíàì Êåïëåðà

     Ðàññìîòðèì äâèæåíèå Çåìëè (ðèñ. Ï1) âîêðóã Ñîëíöà ïî ýëëèïòè-
÷åñêîé îðáèòå. Ïóñòü Ñîëíöå íàõîäèòñÿ â îäíîì èç ôîêóñîâ ýëëèïñà S .
Öåíòð ýëëèïñà O ñîâìåñòèì ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò, áîëüøóþ ïîëóîñü
OP = a ñîâìåñòèì ñ îñüþ Ox , ìàëàÿ ïîëóîñü OB = b ñîâïàä¸ò ñ îñüþ
Oy .
     Óðàâíåíèå ýëëèïñà â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ

      x2 y 2
         +   =1                                                (Ï4.1)
      a 2 b2
çàìåíèì ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè. Èç òî÷êè       M (x, y ) , èçîáðà-
æàþùåé ïîëîæåíèå ïëàíåòû, îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿð MN íà îñü àáñ-
öèññ. Ïðîäîëæèâ ïåðïåíäèêóëÿð MN äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ îêðóæíîñòüþ,
îïèñàííîé íà áîëüøîé îñè ýëëèïñà AP êàê íà äèàìåòðå, ïîëó÷èì íå-
êîòîðóþ òî÷êó M ′ . Î÷åâèäíî, ÷òî ìåæäó òî÷êàìè M è M ′ ñóùåñòâó-
åò îäíîçíà÷íàÿ çàâèñèìîñòü. Ïîëîæåíèå òî÷êè M ′ îäíîçíà÷íî îïðå-
äåëÿåòñÿ (ýêñöåíòðè÷åñêîé àíîìàëèåé) óãëîì E , îòñ÷èòûâàåìûì îò áîëü-
øîé ïîëóîñè OP äî ðàäèóñà OM ′ â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ ïëàíåòû.
    Òåïåðü óðàâíåíèå (4.1) ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü â ýêâèâàëåíòíîì
ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå
      x = a cos E , y = b sin E .                              (Ï4.2)

     OS
e=      - ýêñöåíòðèñèòåò ýëëèïñà, õàðàêòåðèçóþùèé åãî ôîðìó.
     OP
      Î÷åâèäíû ðàâåíñòâà

      OS = ae ,    OB = a 1 − e 2 .                  (Ï4.3)
     Ââåä¸ì äîïîëíèòåëüíóþ ñèñòåìó ïðÿìîóãîëüíûõ îðáèòàëüíûõ
êîîðäèíàò   Sξη , îñè êîòîðîé ïàðàëëåëüíû îñÿì ñèñòåìû êîîðäèíàò