Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 289 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

289
8. Òåîðåìà ßêîáè
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
()
12121
,...,,;;,...,,
+
α+ααα=
nnn
tqqqfS
(Ï3.62)
åñòü ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè. Îáû÷íî êîíñòàí-
òû
n
ααα ,...,,
21
ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëü-
íîìó ìîìåíòó âðåìåíè
0
t . ßêîáè îòêàçûâàåòñÿ îò ýòîãî è âìåñòî
0
0
m
m
p
q
S
−=
∂
∂
ïîëàãàåò
r
r
S
β−=
α∂
∂
, (Ï3.63)
m
m
p
q
S
=
∂
∂
, (Ï3.64)
ãäå
r
β - íîâûå êîíñòàíòû. Òåîðåìà ñîñòîèò â òîì, ÷òî åñëè ýòè óðàâíå-
íèÿ âñ¸ åù¸ ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ
m
q
è
m
p
, òî
ïîëó÷àþùèåñÿ â ðåçóëüòàòå
m
q
è
m
p
áóäóò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèÿì
Ãàìèëüòîíà è ïîýòîìó áóäóò îïèñûâàòü äâèæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê.
Èç (Ï3.63) ñëåäóåò
=
α∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
α∂
∂
rm
m
r
S
q
q
t
S
dt
d
&
0
22
=
α∂
∂
+
α∂
∂
−=
∂α∂
∂
+
∂α∂
∂
=
r
m
rmr
m
r
H
q
H
q
S
q
t
S
&&
. (Ï3.65)
Òàê êàê
r
α âõîäÿò â H òîëüêî èç-çà òîãî, ÷òî
m
p
â ñîîòâåòñòâèè
ñ (3.64) çàâèñÿò îò
r
α , òî èç (Ï3.58) ñëåäóåò, ÷òî
                                                                        289
        8. Òåîðåìà ßêîáè

       Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
       S = f (q1 , q2 ,..., qn ; t; α1 , α2 ,..., αn ) + αn +1      (Ï3.62)
åñòü ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè. Îáû÷íî êîíñòàí-
òû    α1 , α2 ,..., αn ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëü-
íîìó ìîìåíòó âðåìåíè             t0 . ßêîáè îòêàçûâàåòñÿ îò ýòîãî è âìåñòî
 ∂S
      = − pm 0 ïîëàãàåò
∂qm 0

       ∂S
           = −β r ,                                                 (Ï3.63)
       ∂αr

       ∂S
           = pm ,                                                   (Ï3.64)
       ∂qm
ãäå   β r - íîâûå êîíñòàíòû. Òåîðåìà ñîñòîèò â òîì, ÷òî åñëè ýòè óðàâíå-
íèÿ âñ¸ åù¸ ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ          qm è pm , òî
ïîëó÷àþùèåñÿ â ðåçóëüòàòå            qm è pm áóäóò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèÿì
Ãàìèëüòîíà è ïîýòîìó áóäóò îïèñûâàòü äâèæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê.
     Èç (Ï3.63) ñëåäóåò

        d ∂S  ∂            ∂  ∂S
               =  + q& m             =
        dt ∂α r  ∂t       ∂q m  ∂α r

          ∂2S            ∂2S         ∂H          ∂H
       =         + q& m           =−      + q& m      =0.           (Ï3.65)
         ∂α r ∂t        ∂α r ∂q m    ∂α r        ∂α r
       Òàê êàê    α r âõîäÿò â H òîëüêî èç-çà òîãî, ÷òî pm â ñîîòâåòñòâèè
ñ (3.64) çàâèñÿò îò      α r , òî èç (Ï3.58) ñëåäóåò, ÷òî

Страницы