Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

34
Ãëàâà ïåðâàÿ
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíîé çàäà÷è íåîáõîäèìî çíàòü
çíà÷åíèÿ zyx ,, è zyx
&
&&
,,
(äëÿ (1.5.19)) â ìîìåíò âðåìåíè
0=t
.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë óðàâíåíèÿ (1.5.18) çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî
âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèå ëåæèò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê âåê-
òîðó
()
cba,,, à èç óðàâíåíèÿ (1.5.21) ñëåäóåò, ÷òî ðåàêöèÿ ñâÿçè íàïðàâ-
ëåíà âäîëü ýòîãî âåêòîðà. Ìíîæèòåëü
λ
ïðîïîðöèîíàëåí âåëè÷èíå ðå-
àêöèè ñâÿçè, êîòîðàÿ ðàâíà
222
cba ++λ .
 îáùåì ñëó÷àå âîçìîæíûå è âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ðàçëè÷à-
þòñÿ, îäíàêî åñëè 0≡p , îíè ñîâïàäàþò. Ñèñòåìà, â êîòîðîé 0≡p íà-
çûâàåòñÿ êàòàñòàòè÷åñêîé. Äëÿ êàòàñòàòè÷åñêîé ñèñòåìû âîçìîæíûå
è âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ èäåíòè÷íû, à ñêîðîñòü 0
=++
kzjyix
r
&
r
&
r
&
ÿâ-
ëÿåòñÿ âîçìîæíîé ñêîðîñòüþ.
§1.6. Îáîáù¸ííûå (Ëàãðàíæåâû
1
) êîîðäèíàòû
Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ïîëîæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî-
÷åê, ïîä÷èí¸ííîé k ãîëîíîìíûì ñâÿçÿì, îïðåäåëÿåòñÿ kns −= 3 íåçà-
âèñèìûìè äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè.
 äàëüíåéøåì ìû íå áóäåì ñâÿçûâàòü ñåáÿ îãðàíè÷åíèÿìè â âûáî-
ðå ñèñòåìû êîîðäèíàò. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü íåçàâèñèìûå äðóã îò äðóãà ïàðàìåò-
ðû
s
qqq
,...,,
21
, êîòîðûå ìîãóò èìåòü ðàçëè÷íóþ ðàçìåðíîñòü (óãëû,
ïëîùàäè, äëèíó äóã è òàê äàëåå).
Ýòè íåçàâèñèìûå ìåæäó ñîáîé ïàðàìåòðû
s
qqq
,...,,
21
( s - ÷èñëî
ñòåïåíåé ñâîáîäû) íàçûâàþòñÿ îáîáù¸ííûìè (Ëàãðàíæåâûìè) êîîðäè-
íàòàìè.
Ââåäåíèå òàêèõ êîîðäèíàò, êàê ïðàâèëî, ñîïðÿæåíî ñ îïðåäåë¸ííû-
ìè òðóäíîñòÿìè, êîòîðûå íîñÿò ñêîðåå ìàòåìàòè÷åñêèé, ÷åì ôèçè÷åñêèé
õàðàêòåð. Âàæíî îòëè÷àòü òðóäíîñòè, ïðèñóùèå ñàìîìó èçó÷àåìîìó ÿâëå-
íèþ, îò òðóäíîñòåé, ñâÿçàííûõ ñ âûáîðîì ñèñòåìû êîîðäèíàò.
1
Ëàãðàíæåâû êîîðäèíàòû ââåäåíû Ëàãðàíæåì â 1788 ãîäó.
34                                                             Ãëàâà ïåðâàÿ
        Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíîé çàäà÷è íåîáõîäèìî çíàòü
çíà÷åíèÿ x, y , z è x& , y& , z& (äëÿ (1.5.19)) â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 .
     Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë óðàâíåíèÿ (1.5.18) çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî
âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèå ëåæèò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê âåê-
òîðó    (a, b, c ) , à èç óðàâíåíèÿ (1.5.21) ñëåäóåò, ÷òî ðåàêöèÿ ñâÿçè íàïðàâ-
ëåíà âäîëü ýòîãî âåêòîðà. Ìíîæèòåëü λ ïðîïîðöèîíàëåí âåëè÷èíå ðå-

àêöèè ñâÿçè, êîòîðàÿ ðàâíà λ a + b + c .
                                      2    2     2

     îáùåì ñëó÷àå âîçìîæíûå è âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ðàçëè÷à-
þòñÿ, îäíàêî åñëè p ≡ 0 , îíè ñîâïàäàþò. Ñèñòåìà, â êîòîðîé p ≡ 0 íà-
çûâàåòñÿ êàòàñòàòè÷åñêîé. Äëÿ êàòàñòàòè÷åñêîé ñèñòåìû âîçìîæíûå
                                                           r r          r
è âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ èäåíòè÷íû, à ñêîðîñòü          x&i + y& j + z&k = 0 ÿâ-
ëÿåòñÿ âîçìîæíîé ñêîðîñòüþ.

         §1.6. Îáîáù¸ííûå (Ëàãðàíæåâû1) êîîðäèíàòû

        Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ïîëîæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî-
÷åê, ïîä÷èí¸ííîé k ãîëîíîìíûì ñâÿçÿì, îïðåäåëÿåòñÿ s = 3 n − k íåçà-
âèñèìûìè äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè.
       äàëüíåéøåì ìû íå áóäåì ñâÿçûâàòü ñåáÿ îãðàíè÷åíèÿìè â âûáî-
ðå ñèñòåìû êîîðäèíàò. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü íåçàâèñèìûå äðóã îò äðóãà ïàðàìåò-
ðû    q1, q2 ,..., qs , êîòîðûå ìîãóò èìåòü ðàçëè÷íóþ ðàçìåðíîñòü (óãëû,
ïëîùàäè, äëèíó äóã è òàê äàëåå).
        Ýòè íåçàâèñèìûå ìåæäó ñîáîé ïàðàìåòðû          q1, q2 ,..., qs ( s - ÷èñëî
ñòåïåíåé ñâîáîäû) íàçûâàþòñÿ îáîáù¸ííûìè (Ëàãðàíæåâûìè) êîîðäè-
íàòàìè.
     Ââåäåíèå òàêèõ êîîðäèíàò, êàê ïðàâèëî, ñîïðÿæåíî ñ îïðåäåë¸ííû-
ìè òðóäíîñòÿìè, êîòîðûå íîñÿò ñêîðåå ìàòåìàòè÷åñêèé, ÷åì ôèçè÷åñêèé
õàðàêòåð. Âàæíî îòëè÷àòü òðóäíîñòè, ïðèñóùèå ñàìîìó èçó÷àåìîìó ÿâëå-
íèþ, îò òðóäíîñòåé, ñâÿçàííûõ ñ âûáîðîì ñèñòåìû êîîðäèíàò.

1
    Ëàãðàíæåâû êîîðäèíàòû ââåäåíû Ëàãðàíæåì â 1788 ãîäó.

Страницы