Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 47 стр.

Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ                                     47

      N

     ∑ (m &x&
     r =1
            r   r   − X r )δx r = 0 .                              (2.1.6)

       Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäó-
þùåì: â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî-
÷åê, ïîä÷èí¸ííîé èäåàëüíûì ñâÿçÿì, âèðòóàëüíàÿ ðàáîòà âñåõ ñèë èíåðöèè
è çàäàííûõ ñèë íà âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèÿõ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ
òî÷åê ðàâíà íóëþ.
      Óðàâíåíèå (2.1.6) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî âèðòóàëüíîãî ïåðåìå-
ùåíèÿ. Îòìåòèì è òîò ôàêò, ÷òî ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íå ñîäåðæèò ðå-
àêöèé ñâÿçè. Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì óðàâíåíèåì àíàëèòè-
÷åñêîé äèíàìèêè. Ìû áóäåì íàçûâàòü åãî ïåðâîé ôîðìîé îñíîâíîãî óðàâ-
íåíèÿ. Èíîãäà óðàâíåíèå (2.1.6) íàçûâàþò óðàâíåíèåì Äàëàìáåðà - Ëàã-
ðàíæà.
      Óðàâíåíèå (2.1.6), çàïèñàííîå äëÿ n ìàòåðèàëüíûõ, òî÷åê âûãëÿ-
äèò òàê:
      n

     ∑ [(m &x& − X )δx + (m &y& − Y )δy + (m &z& − Z )δz ] = 0 .
     i =1
            i i        i    i     i   i   i   i   i i   i   i      (2.1.7)

     Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèëîæåíèé ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ.


      §2.2. Ñîõðàíåíèå èìïóëüñà

     Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê äâèæåòñÿ êàê òâ¸ð-
äîå òåëî âäîëü îñè x áåç âðàùåíèÿ. Òîãäà äëÿ âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùå-
íèé êàæäîé ÷àñòèöû ìàòåðèàëüíîé ñèñòåìû ìîæíî íàïèñàòü
     δx = a , δy = 0 , δz = 0 ,                                    (2.2.1)
ãäå a - íåêîòîðîå ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî. Óðàâíåíèå (2.1.6) òåïåðü ìîæíî
ïåðåïèñàòü òàê:

     ∑ (m&x& − X )a = 0 èëè ∑ m&x& = ∑ X .                         (2.2.2)
     Çäåñü ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî n ìàòåðèàëüíûì òî÷êàì. Óðàâ-
íåíèå (2.2.2) ìîæíî óïðîñòèòü, åñëè ó÷åñòü, ÷òî âñå âíóòðåííèå ñèëû
ïîïàðíî ðàâíû è ïðîòèâîïîëîæíû (III çàêîí Íüþòîíà), ïðåäïîëîæèì
òàê æå, ÷òî ñóììà âñåõ âíåøíèõ ñèë ðàâíà íóëþ, òîãäà