Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

49
Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ
Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì (2.1.7)
()()()
[]
=δ−+δ++δ−
∑
zZzmyYymxXxm
&&
&&&&
()()()()
[]
=⋅−+δθ⋅−+δθ−⋅−=
∑
0ZzmxYymyXxm
&&
&&&&
()( )
∑
=δθ−−δθ−=
0yXxYxyyxm
&&&&
.
Îòêóäà
()( )
∑∑
−=−
yXxYxyyxm
&&&&
. (2.3.2)
Îïóñêàÿ, êàê è â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, âíóòðåííèå ñèëû è ïðåä-
ïîëàãàÿ, ÷òî ñóììà ìîìåíòîâ âñåõ âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíî îñè
z
ðàâíà
íóëþ, ìû ìîæåì íàïèñàòü
()
∑
=−
0xyyxm
&&&&
. (2.3.3)
Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ (2.3.3), ïîëó÷èì
()
∑
=−
0xyyxm
&&
. (2.3.4)
 ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.3.3) ñòîèò õîðîøî èçâåñòíîå èç òåîðå-
òè÷åñêîé ìåõàíèêè âûðàæåíèå äëÿ ïðîåêöèè íà îñü
Oz
ìîìåíòà êîëè-
÷åñòâà äâèæåíèÿ (êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà)
()
∑
−=
xyyxmL
z
&&
ñèñòåìû
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Óðàâíåíèå (2.3.4) âûðàæàåò òåîðåìó î ñîõðàíåíèè ìîìåíòà êîëè÷å-
ñòâà äâèæåíèÿ.
Èñõîäÿ èç ïåðâîé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ, íàì ñ ïîìîùüþ
ýëåìåíòàðíûõ ðàññóæäåíèé óäàëîñü ïîëó÷èòü äâå î÷åíü âàæíûå òåîðå-
ìû  òåîðåìó î ñîõðàíåíèè èìïóëüñà è òåîðåìó î ñîõðàíåíèè ìîìåíòà
êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.  äàëüíåéøåì ìû åù¸ ðàç ïîëó÷èì ýòè òåîðåìû,
èñõîäÿ èç äðóãèõ ïðåäïîñûëîê.
§2.4. Ïåðâàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ýíåðãèè
 õîäå ðåøåíèÿ çàäà÷è 9 ìû ââåëè ïîíÿòèå êàòàñòàòè÷åñêîé ñèñòå-
ìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, äëÿ êîòîðîé õàðàêòåðíî ñîâïàäåíèå êëàññîâ
âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé è ñêîðîñòåé ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êëàññàìè
äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåùåíèé è ñêîðîñòåé. Â ïåðâîé ôîðìå îñíîâíîãî
óðàâíåíèÿ ìåõàíèêè
Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ                                       49
Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì (2.1.7)

     ∑ [(m&x& − X )δx + (m&y& + Y )δy + (m&z& − Z )δz ] =
     = ∑ [(m&x& − X ) ⋅ (− yδθ) + (m&y& − Y ) ⋅ xδθ + (m&z& − Z ) ⋅ 0] =
     = ∑ m (x&y& − y &x&)δθ − (xY − yX )δθ = 0 .
Îòêóäà

     ∑ m(x&y& − y&x&) = ∑ (xY − yX ).                                (2.3.2)
     Îïóñêàÿ, êàê è â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, âíóòðåííèå ñèëû è ïðåä-
ïîëàãàÿ, ÷òî ñóììà ìîìåíòîâ âñåõ âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíî îñè z ðàâíà
íóëþ, ìû ìîæåì íàïèñàòü

     ∑ m(x&y& − y&x&) = 0 .                                          (2.3.3)
Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ (2.3.3), ïîëó÷èì

     ∑ m(xy& − yx& ) = 0 .                                           (2.3.4)
      ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.3.3) ñòîèò õîðîøî èçâåñòíîå èç òåîðå-
òè÷åñêîé ìåõàíèêè âûðàæåíèå äëÿ ïðîåêöèè íà îñü Oz ìîìåíòà êîëè-
÷åñòâà äâèæåíèÿ (êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà) Lz =        ∑ m(xy& − yx& ) ñèñòåìû
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
     Óðàâíåíèå (2.3.4) âûðàæàåò òåîðåìó î ñîõðàíåíèè ìîìåíòà êîëè÷å-
ñòâà äâèæåíèÿ.
     Èñõîäÿ èç ïåðâîé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ, íàì ñ ïîìîùüþ
ýëåìåíòàðíûõ ðàññóæäåíèé óäàëîñü ïîëó÷èòü äâå î÷åíü âàæíûå òåîðå-
ìû – òåîðåìó î ñîõðàíåíèè èìïóëüñà è òåîðåìó î ñîõðàíåíèè ìîìåíòà
êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.  äàëüíåéøåì ìû åù¸ ðàç ïîëó÷èì ýòè òåîðåìû,
èñõîäÿ èç äðóãèõ ïðåäïîñûëîê.

      §2.4. Ïåðâàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ýíåðãèè

      õîäå ðåøåíèÿ çàäà÷è 9 ìû ââåëè ïîíÿòèå êàòàñòàòè÷åñêîé ñèñòå-
ìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, äëÿ êîòîðîé õàðàêòåðíî ñîâïàäåíèå êëàññîâ
âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé è ñêîðîñòåé ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êëàññàìè
äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåùåíèé è ñêîðîñòåé. Â ïåðâîé ôîðìå îñíîâíîãî
óðàâíåíèÿ ìåõàíèêè

Страницы