Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 51 стр.

Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ                                     51


                 ∑ mx&
             1
     T=                     2
                                .                                  (2.4.5)
             2
     Óðàâíåíèå (2.4.2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâóþ (ïðîñòåéøóþ) ôîð-
ìó óðàâíåíèÿ ýíåðãèè. Îíî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ êèíå-
òè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ðàâíà ñêîðîñòè, ñ êîòî-
ðîé ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà çàäàííûõ ñèë.

      §2.5. Âòîðàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ýíåðãèè

     Ðàññìîòðèì âíîâü ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê è ïóñòü òåïåðü ïîä
íàáîðîì x1 , x 2 ,..., x N ïîíèìàþòñÿ íå òîëüêî òåêóùèå êîîðäèíàòû ìà-
òåðèàëüíûõ òî÷åê â ìîìåíò âðåìåíè t , à âñ¸ ïîëå êîîðäèíàò. Ïóñòü çà-
äàííûå ñèëû X 1 , X 2 ,..., X N çàâèñÿò ëèøü îò x è íå çàâèñÿò îò x& è îò
                                                   N
âðåìåíè t . Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ôîðìà Ïôàôôà        ∑X
                                                  r =1
                                                         r   x& r , ñòîÿùàÿ â

ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.4.1) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì íåêî-
òîðîé îäíîðîäíîé îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè − V àðãóìåíòîâ x1 , x 2 ,..., x N :
      N

     ∑X
      r =1
              &r
             rx          = −dV .                                   (2.5.1)

     Ïðè ýòîì ñ÷èòàþò, ÷òî çàäàííûå ñèëû êîíñåðâàòèâíû (ñèñòåìà
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê êîíñåðâàòèâíà), ôóíêöèþ V íàçûâàþò ïîòåíöè-
àëüíîé ýíåðãèåé çàäàííûõ ñèë (èëè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé ñèñòåìû
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê). Çíàê « - » â óðàâíåíèè (2.5.1) ãîâîðèò î òîì, çà
íóëåâîé óðîâåíü ïðèíèìàåòñÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìàòåðèàëüíûõ òî-
÷åê óäàë¸ííûõ íà áåñêîíå÷íî áîëüøîå ðàññòîÿíèå äðóã îò äðóãà.
     Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê êîíñåðâàòèâíà, òî óðàâíåíèå
      N

     ∑ (m &x&
      r =1
                 r   r   − X r )δx r = 0                           (2.1.6)

ñ ó÷¸òîì (2.5.1) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê