Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

50
Ãëàâà âòîðàÿ
()
∑
=
=δ−
N
r
rrrr
xXxm
1
0
&&
, (2.1.6)
â ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåèçëîæåííûì, âìåñòî
r
x
δ
ìû ìîæåì íàïèñàòü
r
x
&
,
â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå
()( )
0
11
∑∑
==
=−=⋅−
N
r
rrrrr
N
r
rrrr
xXxxmxXxm
&&&&&&&
,
èëè
∑∑
==
=
N
r
rr
N
r
rrr
xXxxm
11
&&&&
. (2.4.1)
Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïðîèçâåäåíèå
rrr
xxm
&&&
, ñòîÿùåå â ëåâîé ÷à-
ñòè óðàâíåíèÿ (2.4.1). Âîçüì¸ì âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè
2
2
1
rr
xm
&
è ïðîäèôôåðåíöèðóåì åãî ïî âðåìåíè
t
.
Ïîëó÷èì
rrrrr
xxmxm
dt
d
&&&&
=
2
2
1
. Òåïåðü óðàâíåíèå (2.4.1) ìîæíî çàïè-
ñàòü òàê
∑
=
=
N
r
rr
xX
dt
dT
1
&
, (2.4.2)
ãäå
∑
=
=
N
r
rr
xmT
1
2
2
1
&
(2.4.3)
- êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Çàïèøåì (2.4.3) â ýêâèâàëåíòíûõ ôîðìàõ:
()
∑
++=
222
2
1
zyxmT
&
&&
, (2.4.4)
50                                                                          Ãëàâà âòîðàÿ
       N

      ∑ (m &x&
      r =1
                  r       r   − X r )δx r = 0 ,                                   (2.1.6)


â ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåèçëîæåííûì, âìåñòî δx r ìû ìîæåì íàïèñàòü x& r ,
â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå
       N                                          N

      ∑ (mr &x&r − X r )⋅ x& r =∑ (mr &x&r x& r − X r x& r ) =0 ,
      r =1                                        r =1
èëè
       N                            N

      ∑
      r =1
             mr x& r &x&r =        ∑X
                                   r =1
                                             & .
                                           r xr                                   (2.4.1)


     Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïðîèçâåäåíèå mr x& r &x&r , ñòîÿùåå â ëåâîé ÷à-
ñòè óðàâíåíèÿ (2.4.1). Âîçüì¸ì âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
                                          1
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè                          mr x& r2 è ïðîäèôôåðåíöèðóåì åãî ïî âðåìåíè t .
                                          2
                d 1        2
Ïîëó÷èì             m r x& r  = m r x& r &x&r . Òåïåðü óðàâíåíèå (2.4.1) ìîæíî çàïè-
                dt  2        
ñàòü òàê
                      N

                  ∑X
      dT
         =                     r xr
                                   & ,                                            (2.4.2)
      dt          r =1
ãäå
                      N

                  ∑ m x&
              1
      T=                       r
                                   2
                                   r                                              (2.4.3)
              2   r =1
- êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
      Çàïèøåì (2.4.3) â ýêâèâàëåíòíûõ ôîðìàõ:

                  ∑ m(x&                                 )
              1
      T=                           2
                                       + y& 2 + z& 2 ,                            (2.4.4)
              2

Страницы