Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

54
Ãëàâà âòîðàÿ
Òðåòüÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ýíåðãèè âûðàæàåò ñîáîé òîò ôàêò, ÷òî
ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè (êèíåòè÷åñêîé ïëþñ ïîòåíöèàëüíîé)
ðàâíà ìîùíîñòè îñòàëüíûõ ñèë, òî åñòü ñèë, íå äàþùèõ âêëàäà â ïîòåí-
öèàëüíóþ ýíåðãèþ.
Óðàâíåíèå (2.5.6), âûðàæàþùåå êëàññè÷åñêèé èíòåãðàë ýíåðãèè,
èãðàåò âàæíóþ ðîëü íå òîëüêî âî âñåé ìåõàíèêå, íî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ
áóêâàëüíî íà âñå îáëàñòè ôèçè÷åñêèõ íàóê.
§2.7. Âòîðàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ
Ïðåæäå ÷åì âûâåñòè âòîðóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ, ñäåëàåì
íåñêîëüêî ïðåäâàðèòåëüíûõ çàìå÷àíèé.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê,
ïîä÷èí¸ííóþ
k
ñâÿçÿì. Òîãäà äëÿ âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé òî÷åê äàí-
íîé ñèñòåìû ìû ìîæåì íàïèñàòü óæå èçâåñòíîå íàì óðàâíåíèå (1.4.16)
∑
=
=
δ
∂
∂
+δ
∂
∂
+δ
∂
∂
n
i
i
i
j
i
i
j
i
i
j
z
z
f
y
y
f
x
x
f
1
0
,
()
kj,...,2,1
=
. (1.4.16)
Çäåñü ñóììèðîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ ïî
n
òî÷êàì. Ïðåîáðàçóåì ýòî
óðàâíåíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïåðåéä¸ì îò ñóììèðîâàíèÿ ïî
n
òî÷-
êàì ê ñóììèðîâàíèþ ïî
nN 3=
êîîðäèíàòàì (ñìîòðè §2.1.) è ââåä¸ì
äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ
ji
i
j
A
x
f
=
∂
∂
. Òåïåðü óðàâ-
íåíèå (1.4.16) ìîæíî çàïèñàòü òàê
∑
=
=δ⋅
N
r
rjr
xA
1
0
, (2.7.1)
ãäå
()
kj,...,2,1
=
.
Âîçüì¸ì òåïåðü óðàâíåíèå (1.4.4), çàïèñàííîå äëÿ îäíîé ìàòåðè-
àëüíîé òî÷êè, è ñîñòàâèì óðàâíåíèå äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê,
ïîä÷èíÿþùåéñÿ
k
ñâÿçÿì:
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
t
f
z
z
f
y
y
f
x
x
f
&
&&
, (1.4.4)
54                                                                                       Ãëàâà âòîðàÿ
     Òðåòüÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ýíåðãèè âûðàæàåò ñîáîé òîò ôàêò, ÷òî
ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè (êèíåòè÷åñêîé ïëþñ ïîòåíöèàëüíîé)
ðàâíà ìîùíîñòè îñòàëüíûõ ñèë, òî åñòü ñèë, íå äàþùèõ âêëàäà â ïîòåí-
öèàëüíóþ ýíåðãèþ.
     Óðàâíåíèå (2.5.6), âûðàæàþùåå êëàññè÷åñêèé èíòåãðàë ýíåðãèè,
èãðàåò âàæíóþ ðîëü íå òîëüêî âî âñåé ìåõàíèêå, íî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ
áóêâàëüíî íà âñå îáëàñòè ôèçè÷åñêèõ íàóê.

      §2.7. Âòîðàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

     Ïðåæäå ÷åì âûâåñòè âòîðóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ, ñäåëàåì
íåñêîëüêî ïðåäâàðèòåëüíûõ çàìå÷àíèé.
     Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê,
ïîä÷èí¸ííóþ k ñâÿçÿì. Òîãäà äëÿ âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé òî÷åê äàí-
íîé ñèñòåìû ìû ìîæåì íàïèñàòü óæå èçâåñòíîå íàì óðàâíåíèå (1.4.16)
      n
             ∂f j             ∂f j            ∂f j     
     ∑  ∂x
     i =1          i
                       δxi +
                               ∂y i
                                      δy i +
                                               ∂zi
                                                   δzi  = 0 ,
                                                        
                                                                  ( j = 1,2,..., k ) .        (1.4.16)

     Çäåñü ñóììèðîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ ïî n òî÷êàì. Ïðåîáðàçóåì ýòî
óðàâíåíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïåðåéä¸ì îò ñóììèðîâàíèÿ ïî n òî÷-
êàì ê ñóììèðîâàíèþ ïî N = 3n êîîðäèíàòàì (ñìîòðè §2.1.) è ââåä¸ì
                                                                         ∂f j
äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ                                      = A ji . Òåïåðü óðàâ-
                                                                         ∂xi
íåíèå (1.4.16) ìîæíî çàïèñàòü òàê
      N

     ∑A
     r =1
              jr   ⋅ δx r = 0 ,                                                               (2.7.1)


ãäå ( j = 1,2,..., k ) .
      Âîçüì¸ì òåïåðü óðàâíåíèå (1.4.4), çàïèñàííîå äëÿ îäíîé ìàòåðè-
àëüíîé òî÷êè, è ñîñòàâèì óðàâíåíèå äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê,
ïîä÷èíÿþùåéñÿ k ñâÿçÿì:
     ∂f      ∂f      ∂f      ∂f
        x& +    y& +    z& +    = 0,                                                          (1.4.4)
     ∂x      ∂y      ∂z      ∂t

Страницы