Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

55
Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ
0
1
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∑
=
n
i
j
i
i
j
i
i
j
i
i
j
t
f
z
z
f
y
y
f
x
x
f
&
&&
èëè
∑
=
=+
N
r
jrjr
AxA
1
0
&
, (2.7.2)
ãäå
t
f
A
j
j
∂
∂
=
. Î÷åâèäíî, ÷òî êîýôôèöèåíòû
jr
A
è
j
A
- ôóíêöèè êëàññà
1
C
, îïðåäåë¸ííûå â íåêîòîðîé îáëàñòè çíà÷åíèé
txxx
N
;,...,,
21
.
Òåïåðü ìû ìîæåì ïðèñòóïèòü ê âûâîäó âòîðîé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâ-
íåíèÿ.
Ïðè ëþáîì âîçìîæíîì äâèæåíèè ñèñòåìû óäîâëåòâîðÿþòñÿ óðàâ-
íåíèÿ
∑
=
=+
N
r
jrjr
AxA
1
0
&
,
()
kj,...,2,1
=
. (2.7.2)
Ïóñòü
NN
xxxxxx
&&&&&&
∆+∆+∆+ ,...,,
2211
áóäóò êàêèå-íèáóäü äðóãèå
âîçìîæíûå ñêîðîñòè â òîì æå ïîëîæåíèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî-
÷åê è â òîò æå ìîìåíò âðåìåíè. Äëÿ íèõ òàê æå ìîæíî íàïèñàòü
()
∑
=
=+∆+
N
r
jrrjr
AxxA
1
0
&&
(2.7.3)
èëè
0
11
=+∆+
∑∑
==
j
N
r
rjr
N
r
rjr
AxAxA
&&
,
ñ ó÷¸òîì (2.7.2) ñðàçó ïîëó÷èì
0
1
=∆
∑
=
N
r
rjr
xA
&
. (2.7.4)
Ñðàâíèâàÿ óðàâíåíèÿ (2.7.4) è (2.7.1), ìû âèäèì, ÷òî ïðèðàùåíèÿ
ñêîðîñòåé
N
xxx
∆∆∆ ,...,,
21
óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (2.7.1) äëÿ âèð-
Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ                                               55

        n
               ∂f j               ∂f j            ∂f j           ∂f j 
       ∑  ∂x
       i =1          i
                         x& i +
                                   ∂y i
                                          y& i +
                                                   ∂zi
                                                          z&i +
                                                                  ∂t 
                                                                       =0

èëè
       N

      ∑A
      r =1
               jr x r
                     & + Aj = 0 ,                                            (2.7.2)


              ∂f j
ãäå A j =            . Î÷åâèäíî, ÷òî êîýôôèöèåíòû A jr è A j - ôóíêöèè êëàññà
              ∂t
C1 , îïðåäåë¸ííûå â íåêîòîðîé îáëàñòè çíà÷åíèé x1 , x 2 ,..., x N ; t .
Òåïåðü ìû ìîæåì ïðèñòóïèòü ê âûâîäó âòîðîé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâ-
íåíèÿ.
     Ïðè ëþáîì âîçìîæíîì äâèæåíèè ñèñòåìû óäîâëåòâîðÿþòñÿ óðàâ-
íåíèÿ
        N

       ∑A
       r =1
                     & + Aj = 0 ,
                jr x r                          ( j = 1,2,..., k ) .         (2.7.2)


     Ïóñòü x&1 + ∆x&1 , x& 2 + ∆x& 2 ,..., x& N + ∆x& N áóäóò êàêèå-íèáóäü äðóãèå
âîçìîæíûå ñêîðîñòè â òîì æå ïîëîæåíèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî-
÷åê è â òîò æå ìîìåíò âðåìåíè. Äëÿ íèõ òàê æå ìîæíî íàïèñàòü
       N

      ∑ A (x&
      r =1
               jr        r   + ∆x& r ) + A j = 0                             (2.7.3)

èëè
       N                       N

      ∑A
      r =1
               jr x r
                     & +      ∑A
                              r =1
                                            & + Aj = 0 ,
                                      jr ∆x r


ñ ó÷¸òîì (2.7.2) ñðàçó ïîëó÷èì
       N

      ∑A
      r =1
               jr ∆x r
                         & =0.                                               (2.7.4)

      Ñðàâíèâàÿ óðàâíåíèÿ (2.7.4) è (2.7.1), ìû âèäèì, ÷òî ïðèðàùåíèÿ
ñêîðîñòåé ∆x1 , ∆x 2 ,..., ∆x N óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (2.7.1) äëÿ âèð-

Страницы