Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 58 стр.

58                                                            Ãëàâà âòîðàÿ
       N

      ∑ (m &x&
      r =1
             r   r   − X r )∆x& r = 0 ,                              (2.7.5)

 êîîðäèíàòû íå âàðüèðóþòñÿ, è ðàññìàòðèâàåòñÿ âîçìîæíîå ïðèðàùå-
íèå (íå îáÿçàòåëüíî ìàëîå) ñêîðîñòè;
- â òðåòüåé ôîðìå îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ
       N

      ∑ (m &x&
      r =1
             r   r   − X r )∆&x&r = 0 ,                              (2.8.5)

êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè íå âàðüèðóþòñÿ, è ðàññìàòðèâàåòñÿ âîçìîæíîå
ïðèðàùåíèå (íå îáÿçàòåëüíî ìàëîå) óñêîðåíèÿ.


      §2.9. Ïðèíöèï Ãàóññà íàèìåíüøåãî ïðèíóæäåíèÿ

     Äîêàæåì ñ ïîìîùüþ òðåòüåé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ òåîðå-
ìó, äîêàçàííóþ Ãàóññîì â 1829 ãîäó.
     Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàíà êîíôèãóðàöèÿ è ñêîðîñòè íåêîòî-
ðîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â ìîìåíò âðåìåíè t . Ñêîíñòðóèðóåì
íåêîòîðóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó
                                          2
         1 N           X 
      C = ∑ mr  &x&r − r  ,                                      (2.9.1)
         2 r =1        mr 
                                                                        r
çàâèñÿùóþ îò &x&1 , &x&2 ,..., &x&N è áóäåì ðàññìàòðèâàòü òå çíà÷åíèÿ &x& , êî-
òîðûå âîçìîæíû ïðè çàäàííûõ êîíôèãóðàöèè è ñêîðîñòÿõ ñèñòåìû ìà-
òåðèàëüíûõ òî÷åê.
     Ïðèíöèï Ãàóññà óòâåðæäàåò, ÷òî â äàííîì êëàññå çíà÷åíèé          &xr& âûðà-
æåíèå C äëÿ èñòèííîãî óñêîðåíèÿ ìèíèìàëüíî.
     Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ èñòèííîãî óñêîðåíèÿ âûðàæåíèå C ïðèíèìà-
åò ìåíüøåå çíà÷åíèå, ÷åì äëÿ ëþáîãî äðóãîãî âîçìîæíîãî óñêîðåíèÿ.
     Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè äîêàçàòåëüñòâî äàííîé òåîðåìû ñâî-
äèòñÿ ê ìèíèìèçàöèè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû (2.9.1).
     Ìû äîêàæåì ýòó òåîðåìó ñ ïîìîùüþ òðåòüåé ôîðìû îñíîâíîãî