Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

61
Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ
()()
{
}
2
2
2
1
2
1
gwmgwmC
−+−−=
.
Ïîñëå âîçâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèé â êâàäðàò è ïðè-
âåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì
()()()
{}
2
1212
2
12
2
2
1
gmmgwmmwmmC
++−−+=
.
Èç óðàâíåíèÿ 0=∂∂ wC íàõîäèì
()()
0
1212
=−−+=
∂
∂
gmmwmm
w
C
,
îòêóäà g
mm
mm
w
12
12
+
−
= , ÷òî ñîâïàäåò ñ ðåçóëüòàòîì ðåøåíèÿ çàäà÷è ïåð-
âûì ñïîñîáîì.
Ðåøèì åù¸ äâå çàäà÷è íà ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà Ãàóññà.
Çàäà÷à 17.
Îáåçüÿíà è ïðîòèâîâåñ. Çàìåíèì â ïðåäûäóùåé çàäà÷å ìàòåðèàëü-
íóþ òî÷êó ìàññû
1
m íà îáåçüÿíó òîé æå ìàññû, êîòîðàÿ ëåçåò ââåðõ ïî
íèòè. Áóäåì ñ÷èòàòü îáåçüÿíó ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé. Ïîëîæåíèå îáåçü-
ÿíû îòíîñèòåëüíî íèòè â ìîìåíò âðåìåíè t çàäàäèì ôóíêöèåé
()
t
ϕ
êëàññà
2
C .  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè âñÿ ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ïî-
êîå, òî åñòü
() ()
000
==
ϕϕ
&
. Îïðåäåëèòü çàêîí äâèæåíèÿ îáåçüÿíû.
Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.
Ðåøåíèå çàäà÷è.
Ðåøèì çàäà÷ó â «ëàáîðàòîðíîé»
ÈÑÎ. Îñü
Ox
ïðîõîäèò ÷åðåç îñü âðà-
Íàéòè
1
x
&&
Äàíî
1
m ,
2
m ,
() ()
000
==
ϕϕ
&
.
Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ                                    61


       C=
            1
            2
               {
              m1 (− w − g ) + m2 (w − g ) .
                           2             2
                                              }
     Ïîñëå âîçâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèé â êâàäðàò è ïðè-
âåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì

       C=
            1
               {
              (m2 + m1 )w 2 − 2(m2 − m1 )gw + (m2 + m1 )g 2 .   }
            2
     Èç óðàâíåíèÿ      ∂ C ∂ w = 0 íàõîäèì
       ∂C
          = (m 2 + m 1 )w − (m 2 − m 1 )g = 0 ,
       ∂w
               m2 − m1
îòêóäà   w=            g , ÷òî ñîâïàäåò ñ ðåçóëüòàòîì ðåøåíèÿ çàäà÷è ïåð-
               m2 + m1
âûì ñïîñîáîì.

     Ðåøèì åù¸ äâå çàäà÷è íà ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà Ãàóññà.

     Çàäà÷à 17.

     Îáåçüÿíà è ïðîòèâîâåñ. Çàìåíèì â ïðåäûäóùåé çàäà÷å ìàòåðèàëü-
íóþ òî÷êó ìàññû m1 íà îáåçüÿíó òîé æå ìàññû, êîòîðàÿ ëåçåò ââåðõ ïî
íèòè. Áóäåì ñ÷èòàòü îáåçüÿíó ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé. Ïîëîæåíèå îáåçü-
ÿíû îòíîñèòåëüíî íèòè â ìîìåíò âðåìåíè            t çàäàäèì ôóíêöèåé ϕ (t )
êëàññà   C 2 .  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè âñÿ ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ïî-
êîå, òî åñòü   ϕ (0) = ϕ& (0) = 0 . Îïðåäåëèòü çàêîí äâèæåíèÿ îáåçüÿíû.

                                           Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.
Íàéòè           &x&1
Äàíî            m1,                        Ðåøåíèå çàäà÷è.

                m2 ,                       Ðåøèì çàäà÷ó â «ëàáîðàòîðíîé»
                ϕ (0) = ϕ& (0) = 0 .   ÈÑÎ. Îñü Ox ïðîõîäèò ÷åðåç îñü âðà-

Страницы