Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

62
Ãëàâà âòîðàÿ
ùåíèÿ áëîêà è íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî ââåðõ.
Îáåçüÿíà è ïðîòèâîâåñ (ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàñ-
ñû
2
m ) â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t íàõîäÿòñÿ
íà îäíîì óðîâíå, êîòîðûé ìû ïðèìåì çà íóëåâîé.
Ïðè ïåðåìåùåíèè îáåçüÿíû ïî íèòè å¸ äëèíà áó-
äåò ñîêðàùàòüñÿ (îáåçüÿíà âûáèðàåò å¸ íà ñåáÿ) è
åñëè îáîçíà÷èòü êîîðäèíàòû îáåçüÿíû è ïðîòèâî-
âåñà ÷åðåç
1
x è
2
x ñîîòâåòñòâåííî, òî óðàâíåíèå
(2.9.1) áóäåò âûãëÿäåòü òàê
()()
{
}
2
22
2
11
2
1
gxmgxmC
+++=
&&&&
. (2.9.5)
Òàê êàê â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè
0=t
, 0
21
== xx , ìû ìî-
æåì íàïèñàòü, ÷òî
()
21
xxt
+==
ϕϕ
, îòêóäà
12
xx
&&&&&&
−=
ϕ
. Ïîäñòàâ-
ëÿÿ ýòî â (2.9.5) ïîëó÷èì
()( )
{}
2
12
2
11
2
1
gxmgxmC
+−++=
&&&&&&
ϕ
. (2.9.6)
Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèå
1
x
&&
, ìèíèìèçèðóþùåå êâàäðàòè÷íóþ
ôîðìó (2.9.6). Ñîñòàâèì óðàâíåíèå 0
1
=∂∂ xC
&&
.
()( ){}
022
2
1
1211
1
=+−ϕ−+=
∂
∂
gxmgxm
x
C
&&
&&
&&
&&
.
Èëè
()( )
0
1211
=+−−+
gxmgxm
&&&&&&
ϕ
.
Îêîí÷àòåëüíî
() ()
gmmmxmm
122112
−+=+
ϕ
&&&&
. (2.9.7)
Äâàæäû ïðîèíòåãðèðîâàâ (2.9.7) ñ ó÷¸òîì íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé,
ïîëó÷èì
() ()
2
122112
2
1
gtmmmxmm
−+=+
ϕ
. (2.9.8)
x
m
2
m
1
m
2
g
m
1
g
O
Ðèñ.11.
y
62                                                                 Ãëàâà âòîðàÿ
ùåíèÿ áëîêà è íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî ââåðõ.                              x
Îáåçüÿíà è ïðîòèâîâåñ (ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàñ-
ñû m 2 ) â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t íàõîäÿòñÿ
íà îäíîì óðîâíå, êîòîðûé ìû ïðèìåì çà íóëåâîé.
Ïðè ïåðåìåùåíèè îáåçüÿíû ïî íèòè å¸ äëèíà áó-
äåò ñîêðàùàòüñÿ (îáåçüÿíà âûáèðàåò å¸ íà ñåáÿ) è
åñëè îáîçíà÷èòü êîîðäèíàòû îáåçüÿíû è ïðîòèâî- m                              m2
                                                 1     O
âåñà ÷åðåç x1 è x 2 ñîîòâåòñòâåííî, òî óðàâíåíèå                                   y
                                                                             m2g
(2.9.1) áóäåò âûãëÿäåòü òàê                        m1g

C=
      1
      2
        {
        m1 (&x&1 + g ) + m 2 (&x&2 + g ) .
                      2                 2
                                              }     (2.9.5)
                                                                        Ðèñ.11.


      Òàê êàê â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ,              x1 = x 2 = 0 , ìû ìî-
æåì íàïèñàòü, ÷òî ϕ (t ) = ϕ       = x1 + x 2 , îòêóäà &x&2 = ϕ&& − &x&1 . Ïîäñòàâ-
ëÿÿ ýòî â (2.9.5) ïîëó÷èì

      C=
            1
            2
              {
              m1 (&x&1 + g ) + m2 (ϕ&& − &x&1 + g ) .
                            2                      2
                                                      }                      (2.9.6)

Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèå           &x&1 , ìèíèìèçèðóþùåå êâàäðàòè÷íóþ
ôîðìó (2.9.6). Ñîñòàâèì óðàâíåíèå           ∂C ∂&x&1 = 0 .
      ∂C 1
           = {2m1 (&x&1 + g ) − 2m2 (ϕ
                                     && − &x&1 + g )}= 0 .
      ∂x&&1 2
Èëè
      m1 (&x&1 + g ) − m2 (ϕ&& − &x&1 + g ) = 0 .
Îêîí÷àòåëüíî
      (m2 + m1 )&x&1 = m2ϕ&& + (m2 − m1 )g .              (2.9.7)
Äâàæäû ïðîèíòåãðèðîâàâ (2.9.7) ñ ó÷¸òîì íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé,
ïîëó÷èì

      (m2 + m1 )x1 = m2ϕ + 1 (m2 − m1 )gt 2 .                                (2.9.8)
                                  2

Страницы