Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 95 стр.

            Ãëàâà IV
            Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ
      Â ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ïðîáëåìàìè
ðàçðåøåíèÿ (èíòåãðèðîâàíèÿ) óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóí-
êöèÿõ èëè â íåîïðåäåë¸ííûõ èíòåãðàëàõ îò ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, òî
åñòü ðàññìîòðèì çàäà÷è ðàçðåøèìûå â êâàäðàòóðàõ.1 Ðàññìîòðèì ñèñòå-
ìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè, óðàâíåíèå Ðàó-
ñà è ôóíêöèþ Ðàóñà, à òàê æå ìåòîä ïîíèæåíèÿ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû
ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ ýíåðãèè. Óðàâíå-
íèå Óèòòåêåðà.

      §4.1. Çàäà÷è, ðàçðåøèìûå â êâàäðàòóðàõ

     Â äâóõ ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ ìû ïîêàçàëè, ÷òî îïðåäåëåíèå äâèæå-
íèÿ ãîëîíîìíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñòå-
ïåíåé ñâîáîäû ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ íåêîòîðîé ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
     Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàíà ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ïî-
ëîæåíèå êîòîðîé â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëåíî íàáîðîì
êîîðäèíàò q1 , q2 ,..., qn , à n - ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû.
    Â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ íàìè óñòàíîâëåíî, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé äâè-
æåíèÿ ñîñòîèò èç n äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çà-
âèñèìûìè2 ïåðåìåííûìè q1 , q2 ,..., qn è ñ íåçàâèñèìûì âðåìåíåì t . Ïîðÿ-
äîê òàêîé ñèñòåìû ðàâåí 2n (ñóììà íàèâûñøèõ ïîðÿäêîâ ïðîèçâîäíûõ
îò çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèÿ äàííîé ñèñòåìû).
      Èç òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èçâåñò-
íî, ÷òî ÷èñëî ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ, âõîäÿùèõ â
îáùåå ðåøåíèå êàêîé-íèáóäü ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé,
ðàâíî ïîðÿäêó ýòîé ñèñòåìû.

1
  Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â êâàäðàòóðàõ ñóùåñòâóåò ëèøü äëÿ
î÷åíü íåìíîãèõ òèïîâ óðàâíåíèé.
2
  Çäåñü èìååòìñÿ â âèäó çàâèñèìîñòü êîîðäèíàò îò âðåìåíè.