Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 96 стр.

96                                                                                 Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ
      Îáùåå ðåøåíèå ãîëîíîìíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ n ñòå-
ïåíÿìè ñâîáîäû ñîäåðæèò 2n ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ.
     Ëþáàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé k -ãî ïîðÿäêà ìî-
æåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó:

           = X r (x1 , x2 ,..., xk , t ) , r = 1,2,..., k ,
       dxr
                                                                                          (4.1.1)
        dt
ãäå X 1 , X 2 ,..., X k - èçâåñòíûå ôóíêöèè èõ àðãóìåíòîâ. Äëÿ ýòîãî ñëåäó-
åò ñíà÷àëà ââåñòè â êà÷åñòâå íîâûõ çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x1 , x 2 ,..., x k
ïåðâîíà÷àëüíûå çàâèñèìûå ïåðåìåííûå è èõ ïðîèçâîäíûå äî íàèâûñ-
øåãî ïîðÿäêà, âñòðå÷àþùåãîñÿ â ïåðâîíà÷àëüíîé ñèñòåìå óðàâíåíèé.
      Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé ÷åòâ¸ðòîãî ïîðÿäêà
       q&&1 = Q1 (q1 , q2 , q&1 , q& 2 ) ,   q&&2 = Q2 (q1 , q2 , q&1 , q& 2 ) ,
(ãäå Q1 è Q2 - ôóíêöèè óêàçàííûõ àðãóìåíòîâ), êîòîðàÿ ñ ïîìîùüþ
ïîäñòàíîâêè
       x1 = q1 , x 2 = q2 , x3 = q&1 , x 4 = q& 2
ïðèâîäèòñÿ ê âèäó:
      x&1 = x3 , x& 2 = x 4 , x& 3 = Q1 (q1 , q2 , q&1 , q& 2 ) , x& 4 = Q2 (q1 , q2 , q&1 , q& 2 ) .
      Ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé (4.1.1) êàê íîðìàëü-
íóþ ôîðìó íåêîòîðîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé k -ãî
ïîðÿäêà.
      Åñëè íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ f (x1 , x 2 ,..., x k , t ) îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì,

      df
÷òî      = 0 ïðè ïîäñòàíîâêå âìåñòî x1 , x 2 ,..., x k ëþáîé ôóíêöèè îò t ,
      dt
óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèÿì (4.1.1), òî óðàâíåíèå
      f (x1 , x 2 ,..., x k , t ) = const           (4.1.2)
íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì ñèñòåìû.
     Íàéä¸ì óñëîâèå ïðè êîòîðîì íåêîòîðàÿ çàäàííàÿ ôóíêöèÿ

f (x1 , x 2 ,..., x k , t ) ïðåäñòàâëÿåò èíòåãðàë ñèñòåìû. Èç óñëîâèÿ
                                                                                           df
                                                                                              =0
                                                                                           dt
ñëåäóåò, ÷òî