Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 98 стр.

98
98                                                                          Ãëàâà
                                                                                Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ
                                                                                       ÷åòâ¸ðòàÿ

       Êîîðäèíàòû             q1 , q2 ,..., qk íàçûâàþòñÿ öèêëè÷åñêèìè, åñëè îíè íå
âõîäèò ÿâíî â ôóíêöèþ Ëàãðàíæà          L , íî ýòà ôóíêöèÿ ñîäåðæèò ÿâíî
ñîîòâåòñòâóþùèå ñêîðîñòè q&1 , q& 2 ,..., q& k . Â äàëüíåéøåì ìû óâèäèì, ÷òî,
êîãäà çàäà÷à ðàçðåøèìà â êâàäðàòóðàõ, â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ýòî ÿâ-
ëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò.
     Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì Ëàãðàíæà (3.4.5)

        d  ∂L         ∂L
                      −   = 0,                r = 1,2,..., n .                         (3.4.5)
        dt  ∂q& r     ∂qr
       Ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå Ëàãðàíæà äëÿ                             q1 , q2 ,..., qk öèêëè÷åñ-
êèõ êîîðäèíàò, ïðèìåò âèä

        d  ∂L        
                      = 0 ,                   r = 1,2,..., k ,                         (4.2.1)
        dt  ∂q& r    
ãäå   L = L (q k +1 , q k + 2 ,..., q n ; q&1 , q& 2 ,..., q& n ; t ) .
       Èíòåãðèðîâàíèå (4.2.1) äà¸ò:
        ∂L
              = βr ,                   r = 1,2,..., k ,                                   (4.2.2)
        ∂q& r
ãäå   β1 , β 2 ,..., β k ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïîñëåäíèå óðàâíåíèÿ îï-
ðåäåëÿþò, î÷åâèäíî, k èíòåãðàëîâ íàøåé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
     Ïîêàæåì òåïåðü, êàê èñïîëüçóÿ ýòè k èíòåãðàëîâ, ìîæíî ïîíèçèòü
ïîðÿäîê ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.1
     Ìåòîä Ðàóñà çàêëþ÷àåòñÿ â îäíîâðåìåííîì èñêëþ÷åíèè öèêëè÷åñ-
êèõ êîîðäèíàò èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, ïðè ýòîì ÷èñëî óðàâíåíèé äâè-
æåíèÿ â îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàòàõ ïîíèæàåòñÿ íà ÷èñëî èñêëþ÷¸ííûõ
öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò.


1
 Ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðåîáðàçîâàíèé Ãà-
ìèëüòîíà, êîòîðûå ìû ðàññìîòðèì ïîçæå. Îíè áûëè ñàìîñòîÿòåëüíî îòêðû-
òû Ðàóñîì â 1876 ãîäó è íåñêîëüêî ïîçäíåå Ãåëüìãîëüöåì.