Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 99 стр.

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ                                                                             99
    Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà çàâèñèò îò âñåõ
îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò, îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé è âðåìåíè, òî åñòü
      L = L(q1 , q 2 ,..., q n , q&1 , q& 2 ,..., q& n , t ) ; (4.2.3)
â ýòîì ñëó÷àå ìû áóäåì èìåòü n óðàâíåíèé Ëàãðàíæà (3.4.5)

       d  ∂L                  ∂L
                              −   = 0,                         r = 1,2,..., n .          (3.4.5)
       dt  ∂q& r              ∂qr
       Äëÿ ïðîèçâîäíûõ îò                                L ïî ïåðâûì k (k ≤ n ) îáîáùåííûì ñêîðî-
ñòÿì   q&1 , q& 2 ,..., q& k ââåä¸ì îáîçíà÷åíèå
       ∂L
             = pr ,                       r = 1,2,..., k                                    (4.2.6)
       ∂q& r
è íàçîâ¸ì          p r îáîáù¸ííûìè èìïóëüñàìè. Ïîäñòàâëÿÿ (4.2.6) â (3.4.5) ïî-
ëó÷èì
       ∂L
           = p& r ,                       r = 1,2,..., k .                                  (4.2.7)
       ∂qr
       Íàéä¸ì ïîëíûé äèôôåðåíöèàë îò ôóíêöèè Ëàãðàíæà (4.2.3):
                        n
                            ∂L          n
                                           ∂L          ∂L
       dL = ∑                   dqr + ∑        dq& r +    dt .                              (4.2.8)
                       r =1 ∂qr             &r
                                      r =1 ∂q          ∂t
ñ ó÷¸òîì (4.2.6) è (4.2.7) ïîëó÷èì
                        k                            n
                                                             ∂L               k
       dL = ∑ p& r dqr +                           ∑ ∂q               dqr + ∑ p r dq& r +
                       r =1                       r = k +1    r              r =1

               n
                         ∂L                       ∂L
       +      ∑ ∂q&
            r = k +1
                                       dq& r +
                                                  ∂t
                                                     dt .                  (4.2.9)
                                  r

       Òàê êàê
        k                                   k                     k

       ∑ p dq&
       r =1
                   r          r       = d ∑ p r q& r − ∑ q& r dpr ,
                                           r =1               r =1
                                                                                            (4.2.10)