Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 97 стр.

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ                                                   97

      ∂f        ∂f                ∂f
          x&1 +      x& 2 + ... +      x& k = 0                   (4.1.3)
      ∂x1       ∂x 2              ∂x k
èëè â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.1.1)
      ∂f       ∂f               ∂f
          X1 +      X 2 + ... +      Xk = 0.                      (4.1.4)
      ∂x1      ∂x 2             ∂x k
     Åñëè (4.1.4) âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, òî
       f (x1 , x 2 ,..., x k , t ) = const
ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ñèñòåìû (4.1.1).
     Ïîëíîå ðåøåíèå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4.1.1)
äà¸òñÿ k èíòåãðàëàìè
      f r (x1 , x 2 ,..., x k , t ) = a r ,   (r = 1,2,..., k )   (4.1.5)
ñ ïðîèçâîëüíûìè ïîñòîÿííûìè a r , åñëè èíòåãðàëû (4.1.5) íåçàâèñèìû,
òî åñòü íè îäèí èç íèõ íå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îñòàëüíûõ.
      Òàêèì îáðàçîì ðåøåíèå äèíàìè÷åñêîé çàäà÷è ñ n ñòåïåíÿìè ñâî-
áîäû ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ 2n èíòåãðàëîâ íåêîòîðîé ñèñòåìû äèô-
ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé 2n - ãî ïîðÿäêà.
     Âîçìîæíîñòü èëè íåâîçìîæíîñòü ðåøåíèÿ äèíàìè÷åñêîé çàäà÷è â
êâàäðàòóðàõ (â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ èëè íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðà-
ëàõ îò ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé) öåëèêîì çàâèñèò îò âèäà êèíåòè÷åñêîãî
ïîòåíöèàëà.  íàñòîÿùåé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷à-
þùèåñÿ ÷àñòíûå âèäû êèíåòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà, ïðè êîòîðûõ äèíà-
ìè÷åñêàÿ çàäà÷à ðàçðåøàåòñÿ â êâàäðàòóðàõ.


      §4.2. Ñèñòåìû ñ öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè,
            óðàâíåíèÿ Ðàóñà

     Â §3.5. ìû íàøëè ïåðâûé èíòåãðàë óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (3.5.3) êîí-
ñåðâàòèâíîé ãîëîíîìíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ n ñòåïåíÿìè
ñâîáîäû. Ìîæíî ñðàçó óêàçàòü åù¸ k èíòåãðàëîâ, åñëè ñðåäè êîîðäè-
íàò, îïèñûâàþùèõ ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, èìåþòñÿ òàê íàçûâàå-
ìûå öèêëè÷åñêèå êîîðäèíàòû.