Задачник-практикум по линейной алгебре: Матрицы. Детерминанты. Системы линейных уравнений. Кирсанов А.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

15
С другой стороны
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
000000000
100010001
=γβα=γ+β+α=
=
⋅
γ
+
⋅
β
+
⋅
α
.
Линейная комбинация (*) равна нулю лишь при
0
=
γ
=
β
=
α
,
что говорит о линейной независимости данных матриц строк.
1.18. Проверить линейную независимость матриц
=
21
11
A
,
−
=
11
12
B
.
Решение. Составим нулевую линейную комбинацию матриц
A
и
:
O
=
β
+
α
B
A
, или
=
β+αβ−α
β+αβ+α
=
ββ−
ββ
+
αα
αα
=
−
⋅β+
⋅α
00
00
2
22
211
12
21
11
.
Эта запись равносильна системе из четырёх уравнений:
02
=
β
+
α
,
0
=
β
+
α
,
0
=
β
−
α
,
02
=
β
+
α
;
решение которой очевидно:
0
=
β
=
α
. Матрицы
A
и
линейно
независимы.
1.19. Проверить линейную независимость матриц:
=
43
21
A
,
−
=
21
11
B
,
−
=
01
10
C
,
=
21
00
D
.
1.20. Разложить матрицу
=
54
21
C
по матрицам
A
и
из
1.18?
PDF создан незарегистрированной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
                                                                                  1 5
           С другой стороны
           α ⋅ (1 0 0) + β ⋅ (0 1 0) + γ ⋅ (0 0 1) =
           = (α 0 0) + (0 β 0) + (0 0 γ ) = (α β γ ) = (0 0 0)
                                                               .

        Линейная комбинация (*) равна нулю лишь при α = β = γ = 0 ,
   что говорит о линейной независимости данных матриц строк.

           1.18. Проверить линейную независимость матриц
                1 1             2 1
           A =      ,   B =        .
                1 2             − 1 1

       Решение. Составим нулевую линейную комбинацию матриц
   A и B : αA + β B = O , или
         1 1           2 1  α α   2β β   α + 2β α + β   0 0 
    α ⋅      + β ⋅        =    +     =            =   .
         1 2           − 1 1  α 2α   − β β   α − β 2α + β   0 0 
           Эта запись равносильна системе из четырёх уравнений:
           α + 2β = 0 ,
           α+β = 0,
           α−β= 0,
           2α + β = 0 ;
   решение которой очевидно: α = β = 0 . Матрицы A и B линейно
   независимы.

           1.19. Проверить линейную независимость матриц:
        1 2                     − 1 1            0 − 1           0 0
   A =     ,            B =        ,   C =        ,   D =     .
        3 4                     1 2             1 0              1 2


                                               1 2
           1.20. Разложить матрицу C =     по матрицам A и B из
                                        4 5
   1.18?




PDF создан незарегистрированной версией pdfFactory Pro www.pdffact

Страницы