Задачник-практикум по линейной алгебре: Матрицы. Детерминанты. Системы линейных уравнений. Кирсанов А.А. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

35
=
mm
n
mm
n
n
baaa
baaa
baaa
...
...............
...
...
21
222
2
2
1
111
2
1
1
*
A
,
или
(
)
bAA =
*
.
Пользуясь понятием линейных операций со столбцами мож-
но записать (1) как
=
⋅++
⋅+
⋅
m
m
n
n
n
n
mm
b
b
b
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x
...
...
...
......
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
, (2)
или короче:
baaa =+++
n
n
xxx ...
2
2
1
1
, (3)
или ещё короче:
ba =
i
i
x
,
n
i
,...,
1
=
, (4)
или совсем коротко:
b
x
A
=
⋅
. (5)
Равенства (2) - (5) говорят о том, что столбец свободных чле-
нов
b
раскладывается по столбцам
i
a
матрицы
A
с коэффициен-
тами
i
x
. При этом, если столбцы матрицы
A
линейно независи-
мы, то система (1) не может иметь двух различных решений: она
или несовместна (не имеет решений), или совместна - имеет реше-
ние и притом только одно.
Теорема Кронекера-Капелли.
Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только
тогда, когда ранг матрицы
A
системы равен рангу расширенной
матрицы
(
)
bAA =
*
.
PDF создан незарегистрированной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
                                                                          3 5

                                 a11    a12   ... a1n   b1 
                                                             
                                 a2     a22   ... an2   b2 
                           A* =  1                           
                                 ...    ...   ... ...   ...  ,
                                am      a2m   ... anm   b m 
                                 1
   или
                            A * = (A b ) .
        Пользуясь понятием линейных операций со столбцами мож-
   но записать (1) как

                       a11     a12           a1n   b1 
                                               
                   1  a1    2  a2        n  an   b 
                          2         2               2       2
                  x ⋅   + x ⋅   + ... + x ⋅   =  
                       ...     ...           ...   ...  ,   (2)
                      a 
                         m      a 
                                   m             a m  bm 
                       1       2             n   
   или короче:
              x1a1 + x 2 a 2 + ... + x n a n = b ,                  (3)
   или ещё короче:
              x i a i = b , i = 1,..., n ,                  (4)
   или совсем коротко:
              A⋅x=b.                                        (5)
       Равенства (2) - (5) говорят о том, что столбец свободных чле-
   нов b раскладывается по столбцам a i матрицы A с коэффициен-
   тами x i . При этом, если столбцы матрицы A линейно независи-
   мы, то система (1) не может иметь двух различных решений: она
   или несовместна (не имеет решений), или совместна - имеет реше-
   ние и притом только одно.
        Теорема Кронекера-Капелли.
        Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только
   тогда, когда ранг матрицы A системы равен рангу расширенной
   матрицы A * = (A b ) .



PDF создан незарегистрированной версией pdfFactory Pro www.pdffact

Страницы