Задачник-практикум по линейной алгебре: Матрицы. Детерминанты. Системы линейных уравнений. Кирсанов А.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

36
При этом, если
rRgRg ==
*
AA
, возможны два случая:
1.
n
r
=
, т.е. число неизвестных равно числу уравнений и
0det
≠
A
, система имеет единственное решение, т.е. она совмест-
ная и определённая.
2.
n
r
<
, система совместная и неопределённая.
Если
AA RgRg >
*
- система (1) несовместная.
Если в системе (1) все свободные члены
i
b
равны нулю, т.е.
O
=
⋅
x
A
, (6)
то такая система называется однородной приведённой системой.
Очевидно, что однородная система совместна всегда, её реше-
нием будет, например, нулевая матрица столбец
O
=
x
. Такое ре-
шение называется тривиальным. Если ранг матрицы
A
при этом
равен
n
, тогда (6) имеет единственное тривиальное решение и дру-
гих решений нет. Если nRg
<
A
, система (6) будет совместной, но
неопределённой, т.е. будет иметь бесконечно много решений. Если
система (6) имеет нетривиальные решения, мы можем выбрать
несколько линейно независимых решений, таких, что любое реше-
ние (6) будет их линейной комбинацией. Из столбцов линейно не-
зависимых решений мы можем составить матрицу
высоты
n
,
которую будем называть фундаментальной матрицей системы (6).
При этом будет выполняться равенство:
O
=
⋅
A
.
Если ранг матрицы однородной системы линейных уравне-
ний
n
r
<
, то система имеет фундаментальную матрицу из
r
n
−
столбцов.
Если
0
x
- некоторое решение системы (1), а
- фундамен-
тальная матрица её приведённой системы (6), тогда столбец
cFxx
⋅
+
=
0
, (7)
где
c
произвольная матрица столбец высоты
r
n
−
, является ре-
шением системы (1). Правая часть (7) называется общим решени-
ем системы (1). Если
rn−
fff
1
,...,,
2
- столбцы фундаментальной мат-
PDF создан незарегистрированной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
                                                                       3 6

        При этом, если RgA = RgA * = r , возможны два случая:
        1. r = n , т.е. число неизвестных равно числу уравнений и
   det A ≠ 0 , система имеет единственное решение, т.е. она совмест-
   ная и определённая.
        2. r < n , система совместная и неопределённая.
        Если RgA * > RgA - система (1) несовместная.
         Если в системе (1) все свободные члены b i равны нулю, т.е.
                      A⋅x =O,                              (6)
    то такая система называется однородной приведённой системой.
        Очевидно, что однородная система совместна всегда, её реше-
   нием будет, например, нулевая матрица столбец x = O . Такое ре-
   шение называется тривиальным. Если ранг матрицы A при этом
   равен n , тогда (6) имеет единственное тривиальное решение и дру-
   гих решений нет. Если RgA < n , система (6) будет совместной, но
   неопределённой, т.е. будет иметь бесконечно много решений. Если
   система (6) имеет нетривиальные решения, мы можем выбрать
   несколько линейно независимых решений, таких, что любое реше-
   ние (6) будет их линейной комбинацией. Из столбцов линейно не-
   зависимых решений мы можем составить матрицу F высоты n ,
   которую будем называть фундаментальной матрицей системы (6).
   При этом будет выполняться равенство:
                                A⋅F =O.
        Если ранг матрицы однородной системы линейных уравне-
   ний r < n , то система имеет фундаментальную матрицу из n − r
   столбцов.
        Если x 0 - некоторое решение системы (1), а F - фундамен-
   тальная матрица её приведённой системы (6), тогда столбец
                    x = x0 + F ⋅ c ,                               (7)
   где c произвольная матрица столбец высоты n − r , является ре-
   шением системы (1). Правая часть (7) называется общим решени-
   ем системы (1). Если f 1 , f 2 ,...,f n−r - столбцы фундаментальной мат-




PDF создан незарегистрированной версией pdfFactory Pro www.pdffact

Страницы