Задачник-практикум по линейной алгебре: Матрицы. Детерминанты. Системы линейных уравнений. Кирсанов А.А. - 41 стр.

                                                                         4 1

       5. x + x − x − x = 0,
           1   2   3   4


           x1 − x 2 + x 3 + x 4 = 0.

       Решение. 1.

       3 x1 + 4 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0,
       5 x1 + 7 x 2 + 4 x 3 + 3x 4 = 0,
        4 x1 + 5 x 2 + 5 x 3 + 3x 4 = 0,
       5 x1 + 6 x 2 + 7 x 3 + 4 x 4 = 0.
       В данном случае расширенная матрица A * совпадает с мат-
   рицей коэффициентов системы A .
       Вычтем из второй строки матрицы A третью и поменяем её
   местами с первой строкой:

          3       4    3   2  1 2 − 1       0  1      0 5    2
                                                                
          5       7    4   3  0 − 2 6       2  0      1 − 3 − 1
        A=                     ~                  ~
            4      5    5   3  0 − 3 9       3  0      0 0    0 .
                                                                
          5                4   0 − 4 12   4   0          0 
                  6    7                                  0 0
       В верхнем левом углу мы получили базисный минор второго
   порядка, следовательно RgA = 2 и в качестве базисных неизвест-
   ных мы возьмём x1 и x 2 , параметрические неизвестные x 3 и x 4
   могут принимать любые значения. Перепишем исходную систему
   в соответствии с упрощённой матрицей:
        x1 = −5 x 3 − 2 x 4 ,
                                                           (*)
        x 2 = 3x3 + x4 .
        Мы можем неизвестным x 3 и x 4 придать любые значения,
   но для получения фундаментальной системы решений мы должны
   позаботиться об их линейной независимости. Этого легко достичь
   если из всего множества значений параметрических неизвестных




PDF создан незарегистрированной версией pdfFactory Pro www.pdffact