Задачник-практикум по линейной алгебре: Матрицы. Детерминанты. Системы линейных уравнений. Кирсанов А.А. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

50
указанных матриц. Матрица коэффициентов
A
у обеих систем одна и
та же.
Будем искать решение поставленной задачи по известной нам
схеме. Составим расширенную матрицу
*
A
и с помощью элемен-
тарных преобразований строк упростим её:
( )
.
04510
1142201
~
20972
12731
*
−−
== BAA
Упрощённая расширенная матрица говорит о том, что
2
*
== AA RgRg
,
1
=
−
rn
,
r
n
<
. Это значит, что в соответствии с
теоремой Кронекера-Капелли данная система уравнений совмест-
ная и неопределённая. Упрощённая расширенная матрица соот-
ветствует системе уравнений
.45
,1422
3
1
2
1
3
1
1
1
−=−
=+
xx
xx
.05
,122
3
2
2
2
3
2
1
2
=−
=+
xx
xx
или
.54
,2214
3
1
2
1
3
1
1
1
xx
xx
+−=
−=
.5
,221
3
2
2
2
3
2
1
2
xx
xx
=
−=
Здесь
3
1
x
и
3
2
x
- параметрические неизвестные, а
1
1
x
,
2
1
x
и
1
2
x
,
2
2
x
- базисные неизвестные. Полагая
α=
3
1
x
,
β=
3
2
x
, где
α
и
β
-
произвольные числа, запишем решение данной системы в виде:
α−= 2214
1
1
x
,
α+−= 54
2
1
x
,
α=
3
1
x
;
β−= 221
1
2
x
,
β= 5
2
2
x
,
β=
3
2
x
.
Окончательно мы можем записать:
βα
βα+−
β−α−
= 554
2212214
X
.
PDF создан незарегистрированной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
                                                                       5 0
   указанных матриц. Матрица коэффициентов A у обеих систем одна и
   та же.
        Будем искать решение поставленной задачи по известной нам
   схеме. Составим расширенную матрицу A * и с помощью элемен-
   тарных преобразований строк упростим её:
                          1 3 7 2 1   1 0 22 14            1
         A * = (A B ) =             ~                      .
                          2 7 9 0 2 0 1 − 5 − 4            0 
         Упрощённая расширенная матрица говорит               о том, что
   RgA * = RgA = 2 , n − r = 1 , n < r . Это значит, что в соответствии с
   теоремой Кронекера-Капелли данная система уравнений совмест-
   ная и неопределённая. Упрощённая расширенная матрица соот-
   ветствует системе уравнений
         x11 + 22 x13 = 14,            x12 + 22 x23 = 1,
         x12 − 5 x13 = −4.             x22 − 5 x 23 = 0.
   или
         x11 = 14 − 22 x13 ,           x12 = 1 − 22 x23 ,
         x12 = −4 + 5 x13 .            x22 = 5 x 23 .

         Здесь x13 и x23 - параметрические неизвестные, а x11 , x12 и x12 ,

   x22 - базисные неизвестные. Полагая x13 = α , x23 = β , где α и β -
   произвольные числа, запишем решение данной системы в виде:
         x11 = 14 − 22α , x12 = −4 + 5α , x13 = α ;
         x12 = 1 − 22β , x22 = 5β , x23 = β .
         Окончательно мы можем записать:
                                   14 − 22α 1 − 22β 
                                                    
                               X =  − 4 + 5α   5β 
                                                       .
                                       α        β 
                                   




PDF создан незарегистрированной версией pdfFactory Pro www.pdffact

Страницы