Высшая математика. Киселева О.Е - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
5 Высота
AK
проходит через точку
A
и перпендикулярна прямой
,
BC
⇒
ее уравнение будем искать в виде:
(
)
,
AAKA
−=−
где
17
.
24
AK
BC
k
k
=−=
Тогда
()
7
18
24
yx
+=−
или
710
.
243
yx=−
6. Длину высоты
AK
найдем по формуле расстояния от точки
(
)
8;1
A
−
до
прямой
(
)
2471150:
BCxy
++=
(
)
24871115
300
12.
25
57649
d
⋅+⋅−+
===
+
7. Для написания уравнения биссектрисы
BF
вычислим координаты точки
.
F
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сто -
рону треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам , поэто -
му
2044
,.
2555
AFABAF
FCBCFC
λ

=⇒===


Точка
F
делит отрезок
AC
в
отношении
4
5
λ
=
, считая от точки
A
, поэтому получим
,
1
AC
F
xx
x
λ
λ
+
=⇒
+
()
4
81
36
5
4,,
4
91
1
5
AC
FF
yy
xy
λ
λ
+⋅−
+
====⇒
+
+
()
4
113
5719
5
.
4
93
1
5
F
y
−+⋅−
==−=−
+
Получили
19
4;.
3
F

−


Уравнение биссектрисы
,
BF
проходящей через точки
(
)
8;11
B
−
и
19
4;
3
F

−


имеет вид :
(
)
311
8118
19
481252
11
3
y
xyx
−
+−+
=⇒=
+−
−−
⇒
искомое уравнение будет иметь вид
13950.
xy
++=
8.
11
,2512150
22
ABCABC
SBCAKS=⋅⇒=⋅⋅=
( кв. ед .).
Задачи для самостоятельного решения
1. Даны три последовательные вершины параллелограмма
(
)
(
)
(
)
3;4,5;3,1;2
ABC
−−
. Найти координаты четвертой вершины
.
D
Сделать
чертеж .
2. Прямая задана общим уравнением
4370.
xy
−−=
Какие из точек
()
5
;1,3;2,
2
AB



(
)
(
)
(
)
(
)
1;1,0;2,4;3,5;2
CDEF
−−
лежат на этой прямой ?
3. Составить уравнение прямой , проходящей через точку
(
)
2;3
N
−−
и перпен -
дикулярной прямой
230.
xy
−+=
4. Даны вершины треугольника
(
)
(
)
(
)
1;1,4;5,13;4.
ABC
−
Составить уравне-
ние медианы , проведенной из вершины
B
и высоты , опущенной из вершины
C
. Вычислить площадь треугольника. Сделать чертеж . 
                                          14
 5 Высота AK проходит через точку A и перпендикулярна прямой BC , ⇒
                                                                      1   7
ее уравнение будем искать в виде: y −y A =k AK ( x −xA ), где k AK =−    = .
                                                                     k BC 24
             7                 7   10
Тогда y +1 = ( x −8 ) или y = x − .
             24               24    3
 6. Длину высоты AK найдем по формуле расстояния от точки A (8; −1) до
                                           24 ⋅8 +7 ⋅ ( −1) +115
                                                             300
прямой BC ( 24 x +7 y +115 =0 ) :     d=                   =      =12.
                                             576 +49          25
 7. Для написания уравнения биссектрисы BF вычислим координаты точки
F . Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сто-
рону треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам, поэто-
        AF      AB        AF 20 4 �        4�
му           =      , ⇒     = = �λ = �. Точка F делит отрезок AC в
        FC      BC        FC 25 5 �        5�
                  4                                            x +λ xC
отношении λ = , считая от точки A , поэтому получим xF = A             ,⇒
                  5                                             1 +λ
          4                                             4
      8 + ⋅ ( −1)                                  −1 + ⋅ ( −13)
                    36        y  + λ y                              57    19
xF = 5            = =4, yF = A        C
                                        , ⇒ yF =        5        =− =− .
         1+
            4        9          1 +λ                   1+
                                                          4          9     3
            5                                             5
               � 19 �
Получили F �4; − �. Уравнение биссектрисы BF , проходящей через точки
               �     3�
                � 19 �               x +8    y −11         x +8 3 ( y −11)
B ( −8;11) и F �4; − � имеет вид:         =           ⇒         =            ⇒
                �      3�            4 +8 −19 −11           12      −52
                                              3
искомое уравнение будет иметь вид 13 x +9 y +5 =0.

          1                   1
8. S ABC = BC ⋅ AK , ⇒ S ABC = ⋅ 25 ⋅12 =150 ( кв. ед.).
          2                   2
Задачи для самостоятельного решения

1.          Даны        три       последовательные           вершины     параллелограмма
A (3; −4 ), B ( −5;3), C (1;2 ) . Найти координаты четвертой вершины D. Сделать
чертеж.
2.    Прямая задана общим уравнением                     4 x −3 y −7 =0. Какие из точек
   �5 �
A � ;1�, B (3;2 ), C (1; −1), D (0; −2 ), E ( 4;3), F (5;2 ) лежат на этой прямой?
   �2 �
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку N ( −2; −3) и перпен-
дикулярной прямой 2 x −y +3 =0.
4. Даны вершины треугольника A (1;1), B ( 4;5), C (13; −4 ). Составить уравне-
ние медианы, проведенной из вершины B и высоты, опущенной из вершины
C . Вычислить площадь треугольника. Сделать чертеж.

Страницы