Высшая математика. Киселева О.Е - 8 стр.

                                        8
� х +2 у −3z =14 , �        z =−2 ,
�                  �
� у −8 z =19 , ⇔ � у =19 +8(−2 ) =3 , Итак, х = 2; у = 3; z = –2.
�    −3z =6 .      � х =14 +3(−2 ) −2 ⋅ 3 =2 .
�                  �
                                               �2 3 2 �        �х �
                                               �       �       � �
3.    Перепишем систему в виде АХ = D, где А = �1 2 −3 � , Х = �у �,
                                               �3 4 1 �        �z �
                                               �       �       � �
     �9 �
     � �
D = �14 �. Так как решение матричного уравнения имеет Х = А–1D,
     �16 �
     � �
                                    2 3 2
найдем матрицу А–1. Имеем: DА = 1 2 −3 = −6 .
                                    3 4 1
      2 −3                  3 2             3 2
А11 =        =14 ; А21 =−        =5 ; А31 =       =−13;
      4 1                   4 1             2 −3
      1 −3                  2 2                2 2
А12 =        =−10 ; А 22 =       =−4 ; А32 =−       =8;
      3 1                   3 1                1 −3
      1 2                  2 3             2 3
А13 =      =−2 ; А 23 =−        =1; А33 =       =1.
      3 4                  3 4             1 2
                           � 14 5 −13 �
                         1 �               �
Таким образом, А–1 = − �−10 −4          8 �. Отсюда
                         6�
                           � −2 1       1 ��
        � 14 5 −13 � � 9 �            �126 +70 −208 �        �−12 � � 2   �
       1�                 �� �       1�               �    1�     � �     �
Х = − �−10 −4          8 � �14 � = − �−90 −56 +128 �=− �−18 �=� 3         �.
       6�                 � �16 �    6�               �    6�     � �     �
        �  − 2    1    1  �� �        � −18 + 14 + 16 �      � 12 � �−2   �
Следовательно, х = 2; у = 3; z = –2.
4.     Проверка вычисления обратной матрицы:
             � 14 5 −13 � �2 3 2 �
           1 �                ��         �
 А–1А = − �−10 −4          8 � �1 2 −3 � =
           6�
             � −2 1        1 �  �
                              � �3 4 1 �
                                         �
      �−6      0    0 � �1 0 0 �
     1�               � �          �
= − � 0 −6          0 �=�0 1 0 �.
     6�
      � 0      0 −6 �    �
                      � �0 0 1 �
                                   �
Задачи для самостоятельного решения
        � −х +2 у +z =5 ,                     � −2 у −5 z =−12 ,
        �                                     �
     1. � 2 х −3 у +3z =1,                 2. � −2 х −у +3 z =7 ,
        � у −5 z =−9 .                        � −х + у +z =4 .
        �                                     �